Свойства двойного интеграла

Задача об объеме цилиндрического тела

Рассмотрим в пространстве тело, ограниченное

сверху – поверхностью S, заданной уравнением Z=¦(x,y), где ¦(x,y)-непрерывная функция;

сбоку – цилиндрической поверхностью с образующими параллельно оси OZ; снизу – областью s (s-проекция поверхности S но XOY)

Найдем объем этого тела.

Разобьем область s на п частей:

Ds₁,Ds₂ …Ds_п

рассмотрим цилиндрические столбики по этим основаниям, ограниченные сверху кусками поверхности S.

Объем ΔV_i столбика с основанием и высотой h_i=¦(x_i,h_i)Ds_i будет равен

,

где для любой точки Р_i (x_i,h_i) принадлежащей области Ds_i строим цилиндр с основанием Dsi и высотой h_i=¦(x_i,h_i).

Производя указанные вычисления для каждой области деления и складывая результаты, получим приближенное значение объема тела:

Точное значение объема цилиндрического тела равно пределу, к которому стремится найденное приближенное значение объема при неограниченном измельчении областей деления, т.е. при неограниченном увеличении п (числа областей деления)

Определение двойного интеграла

Пусть в области s плоскости COU задана функция ¦(x,y)

Разобьем область s произвольно на п частей: Ds₁,Ds₂ ,…Ds_п

так, чтобы Ds₁, Ds₂ ,…Ds_п не имели общих внутренних точек. В каждой

Ds_i (внутри или на границе) выберем точку Р_i (x_i ,h_i) и умножим значение функции ¦(x,y) в этой точке на площадь Ds_i . Сложим все такие произведения, получим

(1)

которая называется интегральной суммой для функции ¦(x,y) в области s.

Обозначим l - шаг разбиения области s на части Ds₁,Ds₂ …Ds_п. Если при l®0 (при ®0 шага разбиения области s) интегральные суммы (1) имеют

конечный предел, то этот предел называется двойным интегралом от функции ¦(x,y) по области s и обозначают

или ,

т.е.

где ¦(x,y) – интегральная функция,

s - область интегрирования,

x,y – переменные интегрирования,

ds(dx, dy ) – элемент площади

Число I называется пределом интегральных сумм при l®0, если для любого положительного числа e, существует положительное число d, такое, что для всякой интегральной суммы с шагом разбиения d, выполнимо неравенство:

Условия существования двойного интеграла и его свойства

Очевидно, функция должна быть ограничена в замкнутой области s, так как в противном случае за счет выбора точки Р_i интегральную сумму можно было бы сделать сколько угодно большой по абсолютной величине, а значит не существует конечного предела интегральных сумм при l®0.

Достаточные условия существования двойного интеграла

Теорема 1

Если функция ¦(x,y) непрерывна в замкнутой области s, то двойной интеграл этой функции по области s существует.

Теорема 2

Если функция ¦(x,y) ограничена в замкнутой области s и непрерывна в ней всюду, кроме конечного числа кусочно-гладких линий, то двойной интеграл по области s существует.

Свойства двойного интеграла

1. не зависит от обозначения переменных интегрирования

2. Постоянный множитель k можно выносить за знак двойного интеграла:

или

если k – произвольное число , и f(x,y) интегрируема в области s, то kf(x,y) также интегрируема.

3. Двойной интеграл суммы (разности) конечного числа слагаемых равен сумме (разности) двойных интегралов:

или

если f₁(x,y) и f₂(x,y) в области s, то их сумма (разность) также интегрируема в области s.

Совокупность свойств 2 и 3 называется линейностью интеграла.

4. Если область s разбита на любое число областей Ds₁,Ds₂ …Ds_т, не имеющих общих внутренних точек и в каждой из этих областей функция f(x,y) интегрируема, то

5. Если всюду в области s функция ¦(x,y) положительная, то и двойной интеграл этой функции по области s будет положительным

6. Если всюду в области s функции ¦₁ (x,y) и ¦₂ (x,y) интегрируемы и

¦₁ (x,y) ¦₂ (x,y), то:

Это свойство называется монотонностью интеграла.

7. Если ¦ (x,y) интегрируема в областиs, то функция |¦ (x,y)| также интегрируема и

Оценка интеграла по модулю.

8. Если ¦ (x,y) 1, то

Доказательство:

Так как в данном случае ¦(x,y,z)=1 в области s, то для любого разбиения

области s на части Ds₁,Ds₂ …Ds_n получим:

9. Теорема о среднем

Если функция непрерывна в замкнутой области s, то в этой области существует точка P(x,h) такая, что

Пусть m – наименьшее значение функции f(x,y) в замкнутой области s;

М – наибольшее значение функции f(x,y) в замкнутой области s;

тогда для любой точки (x,y) этой области, значения функции удовлетворяют неравенствам:

m£¦(x,y)£M

Проинтегрируем это неравенство и применим свойства 6, 2, 8:

Функция ¦(x,y) непрерывна в замкнутой области s, принимает все промежуточные значения между своими наименьшим и наибольшим значениями. Следовательно, существует в области s точка Р(x,h) такая, что

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: