Первообразная. Неопределенный интеграл и его свойства

Введение

В основу курса положены лекции и практические занятия, на протяжении многих лет реализованные в учебном процессе для специальности “Электропривод и автоматизация промышленных предприятий”. Расположение материала обусловлено не требованиями математической строгости изложения, но чисто утилитарно, с таким расчетом, чтобы аппарат предыдущих разделов мог служить инструментом для изучения последующих. Именно на таком принципе даны многие формулировки основных понятий и развития приложений, основанных на этих понятиях. Для начинающего напомним, что термин “определение” подразумевает “договор” между читателем и остальными пользователями математики по некоторому вопросу для исключения возможных неверных толкований. Это значит, что для понимания вопросов, следующих за определением, определение должно быть “вызубрено”, но не вспоминаться с напряжением.

`Текст курса написан не языком “чистого математика” (т.е. определение --> теорема и ее доказательство --> следствия --> обобщение --> новое определение и начинаем сначала ...), а языком для математика-прикладника (определения --> вытекающие из него естественным путем выводы (иногда теоремы с доказательствами) --> отработка навыков использования новых понятий и возможностей --> возможные приложения новых сведений --> переход на введение новых понятий). В текстах сравнительно мало примеров, т.к. это – фактический конспект лекций. Для более полного понимания изучаемого материала предполагается, что читатель будет иметь удовольствие полистать литературу по изучаемому вопросу. Список учебной литературы не приводится из-за его объемности, а также по той причине, что каждый лектор придерживается своего перечня книг. Все приведенные тексты – компиляция книг разных авторов, разного времени издания и разного назначения. Данный курс построен по принципу “понятно лектору – будет понятно и слушателю” и потому представляет собой лоскутное одеяло из разных разделов математики, изложенных в разном стиле. При этом везде преследовалась цель изложения математических принципов в прикладной направленности. Это обнаруживается в большом числе комментариев к теоремам, доказательствам и следствиям.

Неопределенный интеграл

Первообразная. Неопределенный интеграл и его свойства

Опред. F(x) называют первообразной f(x) (для f(x)) на [a;b] , если для любого х из этого отрезка F(x) дифференцируема и F’(x)=f(x). (По Садовничеву, Сендову стр 314).

Так F(x)=x² будет первообразной для f(x)=2x для всех действительных чисел.

Теорема. Если F₁(x) и F₂(x) первообразные f(x) на [a;b] , то любого х из этого отрезка имеет место равенство F₁(x) - F₂(x) =С .

Док. Положим Ф(х)= F₁(x) - F₂(x). Тогда Ф(х) дифференцируема и Ф’(х)=0. Т.е. Ф(х)=С. Откуда и следует вывод.

Следствие. Если F(x) одна из первообразных для f(x) то любая Ф(х)=F(x)+C – тоже первообразная.

Так Ф(x)=2x +С будет первообразной f(x)=x² для всех действительных чисел.

Опред. Множество первообразных для данной f(x) на [a;b] называют неопределенным интегралом и обозначают .

Из определения следует справедливость тождества =F(x)+C.

Термины и обозначения: f(x) - подынтегральная функция; f(x)dx – подынтегральное выражение; х ( записанный в символе dx) - аргумент (переменная) интегрирования; - символ интегрирования.

Все рассмотренное – процесс, обратный поиску производной.

Следствия.

1.Производная от НИ равна подынтегральной функции ’=f(x).

2.Дифференциал от НИ равен подынтегральному выражению d =f(x)dx.

3. Неопределенный интеграл от производной равен подынтегральной функции с точностью до постоянного слагаемого С. F’(x)dx= F(x)+C.

4. Неопределенный интеграл от дифференциала равен выражению под знаком дифференциала точностью до постоянного слагаемого С. dF(x)= F(x)+C.

Все это разные вариации определения.

Свойства.

1.Константу - множитель можно выносить из-под знача НИ. =кF(x)+C.

Док. Пусть F(x) – первообразная для f(x). Т.е. F’(x)=f(x). Тогда кF(x) – первообразная для кf(x), т.к. (кF(x))’= кF’(x)= кf(x). Т.е. к =к(F(x)+C)= кF(x)+C= . (Или просто продифференцировать обе части равенства).

2.НИ от суммы функций равен сумме интегралов от слагаемых. = + .

Док. Пусть F(x) и Ф(х) – первообразные, соответственно, для f(x) и ф(х). Тогда F’(x)=f(x) и Ф’(х)=ф(х) и потому F(x) Ф(х) – первообразная для

f(x) ф(х). Откуда = F(x) +С₁ Ф(х)+С₂ F(x) Ф(х) +С= .

3.Независимость от аргумента. = = = F(x)= F(u)= F(Cosx) .

Так Cosx d(Cosx)= , (lnx+1) d(lnx+1)= как и для хdx = .

Таблица основных неопределенных интегралов

= при а 1; =е^х+С; =ln +C;

= +С; =Sinx+C; =-Cosx+C;

=tgx+C; =-ctgx+C; = arctg +C; =arcSin +C;

Комментарий. В отличие от производных, где каждой ситуации предписано правило ее обработки, при поиске интегралов вся теория заканчивается на этой таблице. Фактически для поиска интеграла остаются только определение и следствия из него, свойства и таблица. А это значит, что все остальное следует преобразовывать эвристическими приемами (или по уже готовым рекомендациям, но не правилам!) к таблице и определению. В качестве контроля ответа может служить только обратный процесс – от результата возьми производную. И, если результат равен подынтегральной функции, то имеется некоторая степень уверенности в правильности выполнения интегрирования.

Методы интегрирования.

Пусть х=ф(t) –монотонная и непрерывная на некотором промежутке функция. Если на соответствующем промежутке изменения переменной х функция f(x) интегрируема, то справедливо равенство = .

Записанное равенство называют формулой замены в неопределенном интеграле. Применяют ее тогда, когда правая часть оказывается ближе к табличному интегралу (см. Комментарий выше).

Док. В самом деле, т.к. F(x) - первообразная для f(x), то F(ф(t)) – будет первообразной для f(ф(t))ф’(t). И потому F’(ф(t))= F’_ф(ф(t))ф’_t(t)= f(ф(t))ф’(t). Откуда следует f(ф(t))ф’(t)dt= F(ф(t))+C= F(x)+C= .

Комментарий. Имеются два подхода использования формулы замены. Один из них изложен выше. В другом (более употребимом) случае заменяют не переменную х на некоторое выражение, а выражение, связывающее х, заменяют одной переменной. А далее – как обычно.

Пример 7.1. Найти = делаем замену lnx=t, =

= Costdt=-Sint +C= -Sinlnx +C.

Иногда замену переменных используют в еще одном виде – подведении под знак дифференциала, используя простое соотношение dx= d(ax+b) для любых а 0 и в. По знак дифференциала подводят такую группу, чтобы интеграл сменил аргумент интегрирования (см. следствия из определения) и при этом принял табличный вид .

Пример 7.2. = Cos (lnx) d(lnx) =-Sinlnx +C – результат совпадает с примером 7.1.

Пусть каждая из u(x) и v(x) дифференцируемы на некотором промежутке и существует первообразная для произведения u’(x)v(x). Тогда на этом промежутке существует первообразная для u(x)v’(x) и справедливо равенство

udv = uv - vdu , называемое формулой интегрирования по частям.

Док. Имеем равенство (uv)’=u’v+v’u. Проинтегрируем его и получим

uv = vdu+ udv . Откуда легко получить требуемое.

Комментарии.

1. Рекомендации по применению этой формулы.

Т.к. теорема доказана в общем случае, то применять ее можно всегда. . Однако наибольшего эффекта можно добиться, если применять ее , когда под интегралом записано произведение функций Pn(x)e^ax ; Pn(x)Sinkx (или другая тригонометрическая функция); e^axCoskx (или другая триг. функция ); Pn(x)lnbx и т.д.

2. Возможно одного шага применения формулы недостаточно. Тогда ее приме-

няют кратно.

3. Возможно применение формулы приведет к сохранению подынтегрального

выражения. Не следует тревожиться по такому случаю, т.к. это даже хорошо.

4. Выбор частей u и v основан на опыте. Только решение конкретных примеров обеспечит навыком выбора частей.

Пример 7.3. Простой интеграл xdx при выборе частей u=x, dv=dx откуда du=dx и v=x приводит нас по формуле интегрирования по частям а равенству xdx =х² + xdx. Откуда следует равенство 2 xdx = х² . Откуда

xdx = х² /2+C.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: