|
|
Вычисление длины дуги плоской кривой.12 а) Если кривая
(если х есть функция переменной у)
 
х х
b) Если кривая задана параметрическими уравнениями
c) Если гладкая кривая задана в полярных координатах уравнением
Пример 34. Найти длину дуги кривой Решение:
Объем тела вращения. Объём тела, образованного вращением криволинейной трапеции, ограниченной кривой
(если вокруг оси ОУ)
Пример 35. Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси OY фигуры, ограниченной Решение:
Площадь поверхности вращения.
а) Если дуга гладкой кривой оси ОХ, то площадь поверхности вращения вычисляется по формуле:
b) Если кривая задана параметрическими уравнениями
с) Если гладкая кривая задана в полярных координатах уравнением
Пример 36. Найти площадь поверхности шара , образованного вращением вокруг оси ОХ окружности Решение:
Пример 37. Найти площадь поверхности, образованной вращением вокруг оси OX арки циклоиды
Решение:
Замечание: кратко геометрические приложения определённого интеграла приведены в Приложении 3 в виде таблицы. Работа переменной силы. Пусть материальная точка М перемещается вдоль оси OX под действием переменной силы F=F(x). Работа, произведенная силой при перемещении точки М из положения x=a в положение x=b:
Пример 38. Вычислить работу, которую нужно затратить, чтобы растянуть пружину на 10 см, если известно, что для удлинения ее на 1 см необходимо приложить силу в 1 кН.
Решение: Согласно закону Гука, сила F, растягивающая пружину, пропорциональна ее растяжению, т.е. F=kx, где х - растяжение пружины (в метрах), k – коэффициент пропорциональности. По условию задачи при х=0,01 м сила F=1kН, то из равенства
Путь, пройденный телом. Пусть материальная точка перемещается по прямой с переменной скоростью
Пример 39. Найти путь, пройденный телом за 4 секунды от начала движения, если скорость тела Решение:
Статические моменты и координаты центра тяжести плоской Кривой. Пусть AB. Статический момент Sx кривой AB относительно оси OX равен
Статический момент Sy кривой AB относительно оси OY равен
Координаты центра тяжести равны
Пример 40. Найти координаты центра тяжести однородной дуги окружности координатной четверти. Решение:
Координаты центра тяжести
Статические моменты и координаты центра тяжести плоской Фигуры. Пусть дана материальная плоская фигура, ограниченная кривой Статический момент плоской фигуры относительно оси OX равен
Статический момент плоской фигуры относительно оси OY равен
Координаты центра тяжести плоской фигуры равны
Пример41. Найти координаты центра тяжести полукруга
Решение:
Координаты центра тяжести
Приложение 1.
Таблица интегралов.
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. Приложение 2.
1. 5.
9.
13.
17.
21.
25.
29.
33. 37.
41.
44.
47.
Приложение 3.
Геометрические приложения определенного интеграла.
Библиографический список
1. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление: В 2 т. М., 1978. Т. 1. 456 с.
2. Шнейдер В.Е., Слуцкий А.И., Шумов А.С. Краткий курс высшей математики: В 2 т., М., 1978. Т. 1. 384 с.
3. Шипачев В.С. Высшая математика. М. 1985. 471 с.
4. Бугров Я. С., Никольский С. М. Высшая математика: В 3т. Дрофа, 2003. Т. 2. 512с.
5. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления: В 3 т., М., 2001. Т. 2. 864 с.
6. Письменный Д. Т. Конспект лекций по высшей математике: В 2 ч., М., 2003. Ч. 1. 256с.
7. Данко П. Е., Попов А. Г., Кожевникова Т. Я. Высшая математика в упражнениях и задачах: В 2 ч., М., 1980. Ч. 1. 320 с.
8. Сборник задач по математике для втузов / Под ред. А. В. Ефимова, Б. П. Демидовича. М., 1986. Ч. 1. 464 с.
Оглавление
§ 1. Неопределённый интеграл ……………………………………………….5
§ 2. Непосредственное интегрирование функции……………………………6
§ 3. Интегрирование заменой переменной……………………………………6
§ 4. Интегрирование по частям………………………………………………..8
§5. Интегрирование рациональных функции………………………………...9
§ 6. Интегрирование иррациональных функций……………………………13
§ 7. Интегрирование тригонометрических и гиперболических функций..15
§ 8. Определенный интеграл как предел интегральной суммы……………18
§ 9. Вычисление определённого интеграла………………………………….19
§10. Геометрические приложения определенного интеграла……………...21
§ 11.Механические приложения определенного интеграла………………..29
Приложение 1.Таблица интегралов………………………………………….33
Приложение 2………………………………………………………………....34
Приложение 3.Геометрические приложения определенного интеграла…35
Библиографический список………………………………………………….36
Интегральное исчисление
Методические указания по дисциплине «Математический анализ»
Лазарева Наталия Борисовна Ловцова Наталья Николаевна
Главный редактор Л. А. Суевалова Редактор Т. Ф. Шейкина Компьютерная верстка Н. Б. Лазарева
Подписано в печать 3.10.07. Формат 60х84 1/16. Бумага писчая. Печать цифровая. Гарнитура «Таймс» Усл.печ.л.2,1. Тираж 150 экз. Заказ 246.
Издательство Тихоокеанского государственного университета. 680035, Хабаровск, ул. Тихоокеанская, 136.
Отдел оперативной полиграфии издательства Тихоокеанского государственного университета. 680035, Хабаровск, ул. Тихоокеанская, 136.
12 Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: ©2015 - 2024 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.
|
на отрезке 
-гладкая (т.е. производная 
непрерывна), то длина соответствующей дуги этой кривой вычисляется по формуле:
или 
, 
( 
и 
-непрерывно дифференцируемые функции), то длина дуги этой кривой, соответствующая монотонному изменению параметра 
от 
до 
вычисляется по формуле:
,то длина дуги равна:
.
от 
до 
.
вокруг оси ОХ, вычисляется по формуле:
или 
, x=0, y=4 .
вращается вокруг
, то
.
.
.
, 
, 
.
.
.
получаем k=100 и F=100x. Отсюда
кДж.
. Путь S, пройденный ею за промежуток времени от t1 до t2:
.
(м/с).
м.
- уравнение плоской материальной кривой
, где 
- линейная плотность кривой.
.
; 
и прямыми y=0, x=a, x=b. Будем считать, что поверхностная плотность пластины постоянна и равна 
.
.
, 
, 
2. 
3. 
4. 
6. 
7. 
8. 
10. 
11. 
12. 
14. 
15. 
16. 
18. 
19. 
20. 
22. 
23. 
24. 
26. 
27. 
28. 
30. 
31. 
32. 
34. 
35. 
36. 
38. 
39. 
40. 
42. 
43. 
45. 
46. 
48. 
49. 
50. 
y
x
a b
y 
x
a b
