Сделай Сам Свою Работу на 5

Понятие определенного интеграла





Пусть на промежутке определена функция . Разобьем промежуток произвольно на частей точками вычислим длину каждого промежутка:

 

В каждом из промежутков произвольно выбираем по точке Эти точки называются точками пунктуации при данном способе разбиения промежутка на части. Вычислим значение функции в точках пунктуации:

Составим сумму вида:

(21)

Сумма (21) называется интегральной суммой для функции на промежутке . Очевидно, что она зависит от способа разбиения промежутка на части и от выбора точек пунктуации.

Пусть называется мелкостью разбиения промежутка на части или рангом дробления.

Если существует независящий от способа разбиения промежутка и от выбора точек пунктуации, то он называется определенным интегралом от на промежутке и обозначается символом где – подынтегральная функция, – подынтегральное выражение, – нижний предел интегрирования, – верхний предел интегрирования.

Теорема (о существовании определенного интеграла): если функция непрерывна на то существует.

Отметим, однако, что определенный интеграл может существовать и для некоторых разрывных функций, в частности, для всякой ограниченной на отрезке функции, имеющей конечное число точек разрыва первого рода.



Формула Ньютона-Лейбница

Теорема Ньютона-Лейбница.

Если:

1) и конечны;

2) непрерывна на и имеет первообразную

то определенный интеграл выражается конечным числом и может быть вычислен по формуле Ньютона-Лейбница:

(22)

Свойства определенного интеграла

1. Определенный интеграл с одинаковым верхним и нижним пределами интегрирования равен нулю:

(23)

2. Если верхний и нижний пределы интегрирования поменять местами, то определенный интеграл изменит знак:

(24)

3. Если и непрерывны на , а – постоянные, то

(25)

4. При любом расположении точек справедливо равенство

(26)

5. Если для любых выполняется неравенство , то и

6. Если для любых выполняется неравенство , то и

7. Оценка интеграла по модулю:

Во всех свойствах предполагается, что непрерывна на .

Пример 29. Вычислить определенный интеграл .

Замена переменной

В определенном интеграле

Пусть непрерывна на и , функция имеет непрерывную производную на , причем то



(27)

Пример 30. Вычислить определенный интеграл .

Интеграл от такого иррационального выражения вычисляется с помощью тригонометрической замены (см. пункт 9.1): .

Поскольку вводится новая переменная интегрирования, необходимо изменить и пределы интегрирования:

Интегрирование по частям

В определенном интеграле

Если и имеют непрерывные производные на , то справедливо равенство

(28)

Пример 31. Вычислить определенный интеграл .

Приложение определенного интеграла

К решению некоторых геометрических задач

Вычисление площади плоской фигуры

В декартовых координатах

Часть плоскости, ограниченная графиком функции осью прямыми называется криволинейной трапецией (см. рис. 2).

Если на отрезке , то площадь криволинейной трапеции может быть вычислена по формуле:

, (29)

если на отрезке , то

. (30)

 

Формулы (29) и (30) можно объединить в одну формулу:

. (31)

Если область ограничена графиками функций и прямыми , то ее площадь может быть вычислена по формуле:

. (32)

Пример 32. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

Рис. 3

На рис. 3 показаны графики функций Вычисляемая площадь заштрихована. Определим координаты точек пересечения кривых – точек M1 и M2. В точке пересечения ординаты равны, поэтому получим уравнение:

Решая это квадратное уравнение, получим

Тогда точками пересечения данных линий будут точки M1 (-2; -2) и M2 (1; 1).

В соответствии с формулой (32) запишем:

Вычисление длины дуги плоской кривой



В декартовых координатах

Если гладкая кривая задана уравнением то длина её дуги от точки до точки вычисляется по формуле:

. (33)

Пример 33. Вычислить длину дуги кривой, заданной уравнением

Для того, чтобы воспользоваться формулой (33) сначала найдем производную функции y(x):

Подставим в (33):

НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

 








Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту:



©2015 - 2024 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.