Понятие определенного интеграла
Пусть на промежутке определена функция . Разобьем промежуток произвольно на частей точками вычислим длину каждого промежутка:
В каждом из промежутков произвольно выбираем по точке Эти точки называются точками пунктуации при данном способе разбиения промежутка на части. Вычислим значение функции в точках пунктуации:
Составим сумму вида:
(21)
Сумма (21) называется интегральной суммой для функции на промежутке . Очевидно, что она зависит от способа разбиения промежутка на части и от выбора точек пунктуации.
Пусть называется мелкостью разбиения промежутка на части или рангом дробления.
Если существует независящий от способа разбиения промежутка и от выбора точек пунктуации, то он называется определенным интегралом от на промежутке и обозначается символом где – подынтегральная функция, – подынтегральное выражение, – нижний предел интегрирования, – верхний предел интегрирования.
Теорема (о существовании определенного интеграла): если функция непрерывна на то существует.
Отметим, однако, что определенный интеграл может существовать и для некоторых разрывных функций, в частности, для всякой ограниченной на отрезке функции, имеющей конечное число точек разрыва первого рода.
Формула Ньютона-Лейбница
Теорема Ньютона-Лейбница.
Если:
1) и конечны;
2) непрерывна на и имеет первообразную
то определенный интеграл выражается конечным числом и может быть вычислен по формуле Ньютона-Лейбница:
(22)
Свойства определенного интеграла
1. Определенный интеграл с одинаковым верхним и нижним пределами интегрирования равен нулю:
(23)
2. Если верхний и нижний пределы интегрирования поменять местами, то определенный интеграл изменит знак:
(24)
3. Если и непрерывны на , а – постоянные, то
(25)
4. При любом расположении точек справедливо равенство
(26)
5. Если для любых выполняется неравенство , то и
6. Если для любых выполняется неравенство , то и
7. Оценка интеграла по модулю:
Во всех свойствах предполагается, что непрерывна на .
Пример 29. Вычислить определенный интеграл .
Замена переменной
В определенном интеграле
Пусть непрерывна на и , функция имеет непрерывную производную на , причем то
(27)
Пример 30. Вычислить определенный интеграл .
Интеграл от такого иррационального выражения вычисляется с помощью тригонометрической замены (см. пункт 9.1): .
Поскольку вводится новая переменная интегрирования, необходимо изменить и пределы интегрирования:
Интегрирование по частям
В определенном интеграле
Если и имеют непрерывные производные на , то справедливо равенство
(28)
Пример 31. Вычислить определенный интеграл .
Приложение определенного интеграла
К решению некоторых геометрических задач
Вычисление площади плоской фигуры
В декартовых координатах
Часть плоскости, ограниченная графиком функции осью прямыми называется криволинейной трапецией (см. рис. 2).
Если на отрезке , то площадь криволинейной трапеции может быть вычислена по формуле:
, (29)
если на отрезке , то
. (30)
Формулы (29) и (30) можно объединить в одну формулу:
. (31)
Если область ограничена графиками функций и прямыми , то ее площадь может быть вычислена по формуле:
. (32)
Пример 32. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями
Рис. 3
На рис. 3 показаны графики функций Вычисляемая площадь заштрихована. Определим координаты точек пересечения кривых – точек M1 и M2. В точке пересечения ординаты равны, поэтому получим уравнение:
Решая это квадратное уравнение, получим
Тогда точками пересечения данных линий будут точки M1 (-2; -2) и M2 (1; 1).
В соответствии с формулой (32) запишем:
Вычисление длины дуги плоской кривой
В декартовых координатах
Если гладкая кривая задана уравнением то длина её дуги от точки до точки вычисляется по формуле:
. (33)
Пример 33. Вычислить длину дуги кривой, заданной уравнением
Для того, чтобы воспользоваться формулой (33) сначала найдем производную функции y(x):
Подставим в (33):
НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту:
©2015 - 2024 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.
|