Интегрирование неправильных дробей
Всякую неправильную дробь путем деления числителя на знаменатель можно представить в виде суммы некоторого многочлена и правильной дроби:
, (15)
где и – многочлены, – правильная дробь, l < m.
Пример 20.Найти интеграл
Подынтегральная дробь является неправильной, поскольку степень числителя больше степени знаменателя. Для того, чтобы ее проинтегрировать, необходимо сначала выделить целую часть, т.е. представить дробь в виде суммы многочлена и правильной дроби:
.
После этого интеграл может быть представлен в виде суммы простых интегралов:
ИНТЕГРИРОВАНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ
8.1. Интегралы вида
(R – рациональная функция)
Неопределенный интеграл вида (R – рациональная функция) с помощью подстановки которая называется универсальной тригонометрической подстановкой, сводится к неопределенному интегралу от рациональной функции одной переменной .
Сделаем подстановку
. (16)
Выразим через
Тогда
где – рациональная функция от .
Пример 21.Найти интеграл .
Воспользуемся универсальной тригонометрической подстановкой (16), которая позволит перейти к интегралу от дробно-рациональной функции.
Несмотря на то, что универсальная подстановка дает возможность проинтегрировать всякую функцию вида однако на практике она часто приводит к слишком сложным рациональным функциям. Поэтому наряду с универсальной подстановкой полезно знать и другие подстановки, которые в некоторых случаях быстрее приводят к цели.
1. Если подынтегральная функция четная относительно и то есть то применяется подстановка , так как выражаются рационально через :
После подстановки получается интеграл от рациональной функции.
Пример 22.Найти интеграл .
Подынтегральная функция четна относительно sin x и cos x, поэтому ее можно преобразовать в дробно-рациональную функцию с помощью подстановки tg x = t.
Итак,
Тогда получаем:
2. Если подынтегральная функция нечетная относительно то есть то он приводится к интегралу от рациональной функции заменой:
3. Если подынтегральная функция нечетная относительно то есть то он приводится к интегралу от рациональной функции заменой
Пример 23. а)Найти интеграл
Подынтегральная функция нечетная относительно , поэтому сделаем подстановку .
б) Найти интеграл
Подынтегральная функция нечетная относительно , поэтому сделаем подстановку .
8.2. Интегралы вида
1.По крайней мере один из показателей степени, m или n – нечетное положительное число.
Если n – нечетное положительное число, то применяют подстановку , если m – нечетное положительное число, то подстановку .
2. Если оба показателя степени, m и n – четные положительные числа, то для преобразования подынтегральной функции используют формулы понижения степени:
(17)
Пример 24. а)Найти интеграл
б)Найти интеграл .
Показатели степени у и - целые положительные числа, поэтому преобразуем подынтегральную функцию с помощью формул (17):
Найдем два последних интеграла.
Окончательно получаем:
8.3. Интегралы вида
С помощью тригонометрических формул:
, (18)
, (19)
(20)
интегралы такого вида можно представить в виде суммы (разности) простых интегралов.
Пример 25.Найти интеграл
Преобразуем подынтегральное выражение, пользуясь формулой (20):
Тогда можно представить исходный интеграл как разность двух интегралов:
Интегрирование некоторых иррациональных выражений
Интегрирование выражений вида
, ,
Интеграл вида может быть приведен к интегралу от рациональной функции с помощью замены или Для интеграла вида с этой целью используют замены или а для интеграла вида - замены или .
Пример 26.Найти интеграл
Это интеграл вида , а2 = 16, а = 4, поэтому для интегрирования воспользуемся подстановкой (точно также можно воспользоваться и подстановкой ).
9.2. Интегралы от выражений вида
Интеграл вида приводится к интегралу от рациональной функции с помощью замены , где m = НОК ( .
Пример 27.Найти интеграл .
Пример 28.Найти интеграл .
С помощью замены переменной перейдем к интегралу от дробно-рациональной функции.
Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту:
©2015 - 2024 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.
|