Приближенные методы вычисления определенного интеграла.

Выделим два направления приближенных вычислений интегралов:

· направление, основанное на геометрической интерпретации определенного интеграла, то есть замене фигуры под кривой интегральной функции интегральной суммой элементарных трапеций;

· направление, основанное на разложении подынтегральной функции в бесконечный степенной ряд.

Приближенные методы интегрирования, основанные на геометрической интерпретации определенного интеграла.

Если разбить отрезок интегрирования на элементарных интервалов, то можно площадь криволинейной трапеции заменить суммой площадей элементарных трапеций. При этом

формула правых (выходящих, верхних)

прямоугольников:

(2.5.)

формула трапеций (верхнюю сторону элементарной трапеции

аппроксимируют наклонным отрезком прямой).

(2.6.)

(2.7.)

Таким образом, интеграл заменяют интегральной суммой, которая при достаточном числе членов даёт значение с любой степенью точности.

Абсолютная погрешность вычисления интеграла определяется формулой: (2.8.)

где - максимальное значение модуля второй производной подынтегральной функции на .

ПРИМЕР 2.7. Вычислить по приближенным формулам с точностью интеграл и сравнить результаты с точным значением.

РЕШЕНИЕ. Принимаем четное число дискретов =10, тогда Таблица 2.1. .

Вычисляем интеграл, используя результаты расчетов (таблица 2.1.).

По формуле "левых" прямоугольников:

По формуле трапеций:

 

По формуле Симпсона:

=

Для сравнения точности приближенных вычислений по разным формулам вычисляем точное значение интеграла по формуле Ньютона-Лейбница:

Сведем все результаты в таблицу 2.2.

Таблица 2.2.

Метод	Ньютона- Лейбница	Левых прямоуг-в	Правых прямоуг-в	Ср.арифметич от (3) и (4).	Трапеций	Симпсона
Результат	0,7854	0,8100	0,7600	0,7850	0,7850	0,7854
Абс.погрешн.	-	0,0246	-0,0254	-0,0004	-0,0004
Отн.погрешн.%	-	3,13	3,23	0,05	0,05

 

Видим, что:

- вычисление по формулам прямоугольников дает наибольшую ошибку;

- вычисление по формуле трапеций даёт среднее арифметическое результатов, вычисленных по формулам прямоугольников. Погрешность при этом уменьшилась на два порядка;

- вычисление по формуле Симпсона в требуемом разряде точности погрешности не дало.

ПРИМЕР 2.8. Вычислить интеграл по формуле трапеций при и оценить погрешность.

 

РЕШЕНИЕ.

Вычисляем ширину дискрета:

Результаты вычислений сводим в таблицу 2.3.

Таблица 2.3.

	1,0	1,1	1,2	1,3	1,4	1,5
	1,0	0,9091	0,8333	0,7692	0,7143	0,6666	3,2259

 

Оценим погрешность вычисления согласно (2.8.)

. Находим вторую производную подынтегральной функции. Полученная функция монотонно убывает, следовательно её максимальное значение на отрезке интегрирования находится в точке

Таким образом, .

 

2.7.2. Приближенное решение интегралов разложением подынтегральной функции в бесконечный степенной ряд.

Метод основан на том, что сложная подынтегральная функция с помощью ряда Макларена заменяется на сумму степенных функций, которые легко интегрируются. Сложность заключается в том, что эта сумма является бесконечной. Числовой ряд является сходящимся. Поэтому конечное число слагаемых определяется требуемой точностью. Подробно этот метод рассматривается в разделе "Ряды".

 

ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА.

Рассмотрим приложениеопределенного интеграла для решения геометрических и для решения экономических задач.

 

12345

---

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту:

©2015 - 2024 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.