Интегрирование по частям в неопределенном интеграле.

Конспект лекций по

Интегральному исчислению

Интегральное исчисление

Первообразная и неопределенный интеграл.

Определение: Первообразной F(x) функции f(x) на промежутке называют функцию, производная которой .

Например: для функции , первообразная на R, так как при любом х.

Теорема Лемма.

Если производная функции на промежутке , то .

Доказательство: По теореме Лагранжа для любых x₁, x₂ Î выполняется , где , так как Þ Þ Þв силу произвольности точек x₁ и x₂ F(x) = C(const).

Теорема: Пусть функция F(x) –первообразная f(x), Ф(x) – другая первообразная f(x) Þ F(x)=Ф(x)+С.

Доказательство: так как Þ по Лемме Þ .

Таким образом, из теоремы следует, что выражение описывает все множество первообразных функции f(x).

Определение: Неопределенным интегралом функции f(x) по переменной x называется множество всех её первообразных , где .

ò-знак интеграла, f(x) – подынтегральная функция, x – переменная интеграла, - подынтегральное выражение, С – const интегрированная.

Вычисление неопределенного интеграла называют интегрированием. Проверить правильность вычисления неопределенного интеграла можно продифференцировав результат. ; - верно

Свойства неопределенного интеграла.

Замечание: Условием существования неопределенного интеграла является непрерывность подынтегральной функции.

Замена переменных в неопределенном интеграле.

Пусть на промежутке T определена функция , на множестве значений которой определена функция Þ = . Можно выделить два вида с заменой переменной.

Первый тип.

Такие замены стандартные, их нужно знать.

= = = = = =

Второй тип.

, нужно в подынтегральной функции поискать производную какой-нибудь её части.

Пример: = = =e^t+C=e^{sin x}+C

Таблица интегралов.

	От степенных функций
		n≠-1





	От показательной функции


	От тригонометрических функций








	для обратных тригонометрических функций




	Длинный и высокий логарифмы
		Длинный логарифм
		Высокие логарифмы
	Полезные интегралы

Интегрирование по частям в неопределенном интеграле.

Т.к. Þ . Проинтегрируем обе части равенства: .

Интегрирование по частям применяют в случаях:

· Подынтегральная сумма представляет собой произведение многочлена на показательную функцию или тригонометрическую. За u берется многочлен, за dv оставшееся. Пример:

= = = =

= = =

= =

· Подынтегральная функция представляет собой произведение многочлена на логарифмическую или обратную тригонометрическую функцию, за часть u нужно взять логарифмическую или обратную тригонометрическую функцию.

= = = = =
= = =

· Подынтегральная функция представляет собой произведение тригонометрической на показательную функцию. Неважно что брать за u.
I= = = = = = ; ;

1.6 Интегрирование выражений, содержащих квадратный трехчлен: ; .Каждый из указанных двух интегралов берется в два приема:

а) выделяется полный квадрат в квадратном трехчлене

;

б) заменой исходный интеграл сводится к табличным интегралам.

Задача. Найти неопределенный интеграл

Решение:

Выделим сначала полный квадрат из квадратного трехчлена:

Затем проведем замену переменных, положив и .

Тогда

Каждый из интегралов вычислим отдельно:

Здесь мы сделаем замену переменных, положив (тогда и ):

Окончательно получим

1.7 Интегрирование рациональных дробей. Выражения вида , где а - вещественное, k, l - натуральные числа, а квадратный трехчлен не имеет действительных корней, назовем простейшими сомножителями. Известна основная теорема алгебры: любой многочлен степени n можно разложить в произведение простейших сомножителей:

= (4)

где -число;

Дроби вида , где k, l - натуральные числа, - простейший сомножитель, будем называть простейшими рациональными дробями. Используя (4), можно доказать следующую теорему.

Теорема. Любая правильная рациональная дробь

может быть представлена в виде суммы простейших рациональных дробей (m и n-степени многочленов, стоящих в числителе и знаменателе соответственно). Эта сумма строится следующим образом в два этапа:

1) каждый простейший множитель вида порождает следующую сумму из слагаемых: ;

2) каждый сомножитель вида порождает следующую сумму из слагаемых:

В результате мы получим следующее разложение правильной дроби на простейшие: = +...+

...+

(5)

Считая в дальнейшем, что коэффициент при старшей степени у многочлена равен единице, на примерах решения задач покажем, как используется сформулированная теорема на практике.

Задача. Разложить дробь на простейшие дроби.

Решение: Разложим знаменатель на простейшие сомножители: .

Тогда ;

Две дроби, имеющие одинаковые знаменатели, равны, значит равны их числители, то есть .

Два многочлена тождественно равны тогда, когда у них совпадают коэффициенты при одинаковых степенях , следовательно, можно записать следующую систему уравнений:

Решая ее, находим, что

Окончательно положим .

Задача. Разложить дробь на простейшие дроби. Решение:Разложим знаменатель дроби на простейшие сомножители: .

Тогда или

Как и в предыдущей задаче, составим систему уравнений для нахождения неизвестных коэффициентов:

Выражая из первых двух уравнений и через и соответственно и подставляя найденные значения в последующие два уравнения, находим:

Отсюда

Следовательно,

Из разложения (5) следует, что интегрирование правильных рациональных дробей сводится к интегрированию простейших дробей.

Задача. Найти .

Решение: Поскольку рациональная дробь, стоящая под знаком интеграла, является неправильной, то представим ее в виде суммы многочлена и правильной дроби (для этого достаточно найти частное и остаток от деления числителя на знаменатель).

Тогда

Разложим дробь на простейшие:

;

Отсюда

Следовательно,

Но тогда

1.8 Интегрирование некоторых иррациональных алгебраических функций. Пусть - рациональная функция своихаргументов. Тогда интеграл находится заменой переменных

Как правило, за берется наименьшее общее кратное чисел , где , т.е. r выбирается так, чтобы все корни, стоящие под знаком интеграла, извлекались.

Задача. Найти неопределенный интеграл .

Решение:Ясно, что . Учитывая это, делаем следующую замену переменных:

1.9 Интегрирование тригонометрических выражений.Пусть - рациональная функция своих аргументов. Рассмотрим несколько случаев:

1-й случай. Интеграл универсальной тригонометри-ческой подстановкой сводится к интегралу от рациональной функции. При этом .

С учетом сделанной замены получим ,

где - рациональная функция, интеграл от которой рассматривался выше.

Задача . Найти неопределенный интеграл: .

Решение: Сделаем универсальную тригонометрическую подстановку:

; .

Тогда .

Последний интеграл вычислим отдельно. Для этого выделим полный квадрат в знаменателе дроби:

Воспользовавшись заменой переменной получим

Окончательно находим

= = .

Отметим, что универсальную тригонометрическую подстановку, как правило, используют в тех случаях, когда другие подстановки, приведенные ниже не приводят к желаемым результатам.

2-й случай. В интегралах , где и входят в подынтегральную рациональную функцию, только в четных степенях делается замена . При этом