Задача динамического программирования.

I.Основные понятия и обозначения.

Динамическое программирование – это математический метод поиска оптимального управления, специально приспособленный к многошаговым процессам. Рассмотрим пример такого процесса.

Пусть планируется деятельность группы предприятий на N лет. Здесь шагом является один год. В начале 1-го года на развитие предприятий выделяются средства, которые должны быть как-то распределены между этими предприятиями. В процессе их функционирования выделенные средства частично расходуются. Каждое предприятие за год приносит некоторый доход, зависящий от вложенных средств. В начале года имеющиеся средства могут перераспределяться между предприятиями : каждому из них выделяется какая-то доля средств.

Ставится вопрос : как в начале каждого года распределять имеющиеся средства между предприятиями, чтобы суммарный доход от всех предприятий за N лет был максимальным?

Перед нами типичная задача динамического программирования, в которой рассматривается управляемый процесс – функционирование группы предприятий. Управление процессом состоит в распределении (и перераспределении) средств. Управляющим воздействием (УВ) является выделене каких-то средств каждому из предприятий в начале года.

УВ на каждом шаге должно выбираться с учетом всех его последствий в будущем. УВ должно быть дальновидным, с учетом перспективы. Нет смысла выбирать на рассматриваемом шаге наилучшее УВ, если в дальнейшем это помешает получить наилучшие результаты других шагов. УВ на каждом шаге надо выбирать “c заглядыванием в будущее”, иначе возможны серьезные ошибки.

Действительно, предположим, что в рассмотренной группе предприятий одни заняты выпуском предметов потребления, а другие производят для этого машины. Причем целью является получение за N лет максимального объема выпуска предметов потребления. Пусть планируются капиталовложения на первый год. Исходя их узких интересов данного шага (года), мы должны были бы все средства вложить в производство предметов потребления, пустить имеющиеся машины на полную мощность и добиться к концу года максимального объема продукции. Но правильным ли будет такое решение в целом? Очевидно, нет. Имея в виду будущее, необходимо выделить какую-то долю средств и на производство машин. При этом объем продукции за первый год, естественно, снизится, зато будут созданы условия, позволяющие увеличивать ее производство в последующие годы.

В формализме решения задач методом динамического программирования будут использоваться следующие обозначения:

N – число шагов.

– вектор,описывающий состояние системы на k-м шаге.

– начальное состояние, т. е. cостояние на 1-м шаге.

– конечное состояние, т. е. cостояние на последнем шаге.

X_k – область допустимых состояний на k-ом шаге.

– вектор УВ на k-ом шаге, обеспечивающий переход системы из состояния x_k-1 в состояние x_k.

U_k – область допустимых УВ на k-ом шаге.

W_k – величина выигрыша, полученного в результате реализации k-го шага.

S – общий выигрыш за N шагов.

– вектор оптимальной стратегии управления или ОУВ за N шагов.

S_k+1( ) – максимальный выигрыш, получаемый при переходе из любого состояния в конечное состояние при оптимальной стратегии управления начиная с (k+1)-го шага.

S₁( ) – максимальный выигрыш, получаемый за N шагов при переходе системы из начального состояния в конечное при реализации оптимальной стратегии управления . Очевидно, что S = S₁( ), если –фиксировано.

Метод динамического программирования опирается на условие отсутствия последействия и условие аддитивности целевой функции.

Условие отсутствия последействия. Состояние , в которое перешла система за один k-й шаг, зависит от состояния и выбранного УВ и не зависит от того, каким образом система пришла в состояние , то есть

Аналогично, величина выигрыша W_k зависит от состояния и выбранного УВ , то есть

Условие аддитивности целевой функции. Общий выигрыш за N шагов вычисляется по формуле

Определение. Оптимальной стратегией управления называется совокупность УВ , то есть , в результате реализации которых система за N шагов переходит из начального состояния в конечное и при этом общий выигрыш S принимает наибольшее значение.

Условие отсутствия последействия позволяет сформулировать принцип оптимальности Белмана.

Принцип оптимальности. Каково бы ни было допустимое состояние системы
перед очередным i-м шагом, надо выбрать допустимое УВ на этом шаге так, чтобы выигрыш W_i на i-м шаге плюс оптимальный выигрыш на всех последующих шагах был максимальным.

В качестве примера постановки задачи оптимального управления продолжим рассмотрение задачи управления финансированием группы предприятий. Пусть в начале i-го года группе предприятий выделяются соответственно средства: совокупность этих значений можно считать управлением на i-м шаге, то есть . Управление процессом в целом представляет собой совокупность всех шаговых управлений, то есть .

Управление может быть хорошим или плохим, эффективным или неэффективным. Эффективность управления оценивается показателем S. Возникает вопрос: как выбрать шаговые управления , чтобы величина S обратилась в максимум ?

Поставленная задача является задачей оптимального управления, а управление, при котором показатель S достигает максимума, называется оптимальным. Оптимальное управление многошаговым процессом состоит из совокупности оптимальных шаговых управлений:

Таким образом, перед нами стоит задача: определить оптимальное управление на каждом шаге (i=1,2,...N) и, значит, оптимальное управление всем процессом .

II. Идеи метода динамического программирования

Мы отметили, что планируя многошаговый процесс, необходимо выби­рать УВ на каждом шаге с учетом его будущих последствий на еще пред­стоящих шагах. Однако, из этого правила есть исключение. Среди всех шагов существует один, который может планироватьсябез "заглядыва-ния в будущее". Какой это шаг? Очевидно, последний —после него дру­гих шагов нет. Этот шаг, единственный из всех, можно планировать так, чтобы он как таковой принес наибольшую выгоду. Спланировав опти­мально этот последний шаг, можно к нему пристраивать предпоследний, к предпоследнему — предпредпоследний и т.д.

Поэтому процесс динамического программирования на 1-м этапе раз­ворачивается от конца к началу, то есть раньше всех планируется послед­ний,

N-й шаг. А как его спланировать, если мы не знаем,чем кончился предпоследний? Очевидно, нужно сделать все возможные предположе­ния о том, чем кончился предпоследний, (N — 1)-й шаг, и для каждого из них найти такое управление, при котором выигрыш (доход) на послед­нем шаге был бы максимален. Решив эту задачу, мы найдем условно оптимальное управление (УОУ) на N-м шаге, т.е. управление, которое надо применить, если (N — 1)-й шаг закончился определенным образом.

Предположим, что эта процедура выполнена, то есть для каждого исхода

(N — 1)-го шага мы знаем УОУ на N-м шаге и соответствующий ему условно оптимальный выигрыш (УОВ). Теперь мы можем оптими­зировать управление на предпоследнем, (N — 1)-м шаге. Сделаем все возможные предположения о том, чем кончился предпредпоследпий, то есть (N — 2)-й шаг, и для каждого из этих предположений найдем такое управление на (N — 1)-м шаге, чтобы выигрыш за последние два ша­га (из которых последний уже оптимизирован) был максимален. Далее оптимизируется управ чение на (N — 2)-м шаге, и т.д.

Одним словом, на каждом шаге ищется такое управление, которое обеспечивает оптимальное продолжение процесса относительно достиг­нутого в данный момент состояния. Этот принцип выбора управления , называется принципом оптимальности. Само управление, обеспечивающее оптимальное продолжение процесса относительно заданного состояния, называется УОУ на данном шаге.

Теперь предположим, что УОУ на каждом шаге нам известно: мы знаем, что делать дальше, в каком бы состоянии ни был процесс к началу каждого шага. Тогда мы можем найти уже не "условное", а дейсгвительно оптимальное управление на каждом шаге. |

Действительно, пусть нам известно начальное состояние процесса. Те­перь мы уже знаем, что делать на первом шаге: надо применить УОУ, найденное для первого шага и начального сосюяния. В результате это­го управления после первого шага система перейдет в другое состояние; но для этого состояния мы знаем УОУ и г д. Таким образом, мы найдем оптимальное управление процессом, приводящее к максимально возмож­ному выигрышу.

Таким образом, в процессе оптимизации управления методом динами­ческого программирования многошаговый процесс "проходится" дважды:

— первый раз — от конца к началу, в результате чего находятся УОУ| на каждом шаге и оптимальный выигрыш (тоже условный) на всех шагах, начиная с данного и до конца процесса;

— второй раз — от начала к концу, в результате чего находятся оптимальные управления на всех шагах процесса.

Можно сказать, что процедура построения оптимального управления

методом динамического программирования распадается на две стадии:

предварительную и окончательную. На предварительной стадии для каждого шага определяется УОУ, зависящее от состояния системы (до­стигнутого в результате предыдущих шагов), и условно оптимальный вы­игрыш на всех оставшихся шагах, начиная с данного, также зависящий от состояния. На окончательной стадии определяется (безусловное) опти­мальное управление для каждого шага. Предварительная (условная) оптимизация производится по шагам в обратном порядке: от последне­го шага к первому; окончательная (безусловная) оптимизация — также по шагам, но в естественном порядке: от первого шага к последнему. Из двух стадий оптимизации несравненно более важной и трудоемкой является первая. После окончания первой стадии выполнение второй трудности не представляет: остается только "прочесть" рекомендации, уже заготовленные на первой стадии.

III. Пример задачи динамического программирования

Выбор состава оборудования технологической линии.

Есть технологическая линия , то есть цепочка, последовательность операций.

На каждую операцию можно назначить оборудование только каго-то одного вида, а оборудования, способного работать на данной операции, - несколько видов.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: