Сделай Сам Свою Работу на 5

Th. О разложении многочлена на неприводимые множители.





Th 1.(о делимости многочленов)

Для того, чтобы многочлен разделился на многочлен с остатком требуется, чтобы существовал такой многочлен , для которых имеет место тождество, т.е. равенство справедливое для .

(1)

Причем - многочлен делимое;

- многочлен делитель;

- многочлен частное;

- многочлен остаток.

Из (1) можно записать :

.

Если говорят, что делится на нацело.

Если .

Если , то называется корнем многочлена , т.е. ,

- корень , если .

- корень , т.е. .

Если , причем - корень кратности «k».

Если , то - корень простой.

 

Th 2. , где - корни , - кратности корней .

(б/д)

 

Th 3.

, где

(б/д)

 

Многочлен на действительные линейные множители не раскладывается ( ).

Df. Функция вида называется рациональной (дробью) функцией , когда - многочлены степени «n» и «m» соответсвенно.

Рациональная дробь называется

правильной и

неправильной .

 

 

Th 4. - неправильную рациональную дробь можно представить в виде:

, т.е. в виде суммы многочлена и правильной рациональной дроби .

Практически это делается так называемым «делением уголком»:



 

Пример.

Т.е. .

 

Th 5. О делимости на бином (двучлен)

1) ; 2) ; 3) .

1) из делимости многочленов , т.к. , то .

Остаток от деления многочлена на бином численно равен значению многочлена при подстановке вместо значения равного «а», т.е. - это есть теорема Безу.

Тогда обобщенная теорема Безу будет получена для бинома .

2) .

3)

 

Следствие из th. Безу.

Если - корень многочлена (т.е. ), то этот многочлен без остатка делится на , т.е. .

Док-во:

Т.к. - корень , то по делимости многочленов .

 

Замечание. Остаток от деления многочлена на бином можно определить следующим образом.

1) «Уголком»

;

2) По th. Безу

3) По схеме Горнера

.

 

Th 6. Многочлены и считаются тождественно равными , если равны их коэффициенты при одинаковых степенях главной буквы . Для равенства многочленов, очевидно, необходимо равенство их степеней.

.

Составим схему, позволяющую вычислять остаток и коэффициенты многочлена .



 

Остаток .

 

Замечание. Если - корень многочлена , то остаток /

Пример. на .

1.

2.

3.

-1 -5 -4
-1 -4

§ Делимость двучленов на бином.

Th1. . Разность “n”- ых степеней двух чисел всегда делится на разность первых степеней этих чисел.

Th2.

Th3.

Th4.

Три замечательных тождества.

I.

II.

III.

Замечание: если на сумму (x+a) многочлен делится, то всегда будет чередование знаков слагаемых в правой части.

Пример1:

Пример2: Разложить на множители.

Th. Основная теорема алгебры (th. Гаусса)

Любой многочлен на множестве С чисел имеет по крайней мере один корень или действительный или комплексный.

Th. О разложении многочлена на неприводимые множители.

Любой многочлен рассматриваемый на множестве С имеет ровно столько корней, какова его степень при условии, что каждый кратный «к» раз корень считается «к» раз. Причём каждый многочлен допускает представление в виде: (из приведенных ранее теорем 2 и 3)

a) , где – кратность корней .

– различные корни.

b) Любой многочлен с действительными коэффициентами.

Действительные различные корни - кратность корней, такие, что такие, что

Th. О разложении правильной рациональной дроби на сумму элементарных дробей. Пусть и знаменатель

Тогда:

Разложение (1) – причём это разложение (равенство) единственно. Неопределённые (неизвестные) коэффициенты находятся следующим образом. Приводят правую часть равенства (1) к общему знаменателю



Коэффициенты многочлена являются линейными функциями от неизвестных коэффициентов.

, число неопределенных коэффициентов равно “m”, т.к. в (2) знаменатели равны, то получается равенство, т.е. то тождество:

(3)

Справедливо для любых “x”.

Как известно из Th. Для того,

чтобы выполнялось равенство (3) чтобы равнялись коэффициенты при одинаковых степенях “x”.

a) Отсюда получаем систему из “m” линейного уравнения относительно неизвестных коэффициентов.

Решение этой системы существует и единственно в силу Th о разложении правильной рациональной дроби.

b) Пусть m – действительных чисел причем , тогда

(5)

В левой части (5) стоят константы, в правой линейные комбинации неизвестных коэффициентов . Число уравнений “m”. Т.о. опять получили систему из “m” линейных алгебраических уравнений относительно искомых коэффициентов. Можно показать, что её решение существует и единственно. Этот способ удобно применять, когда корни многочлена действительные.

c) Обычно используют комбинацию способов а) и b). Строят уравнения типа (5), в тех точках, где корни . Недостающее число уравнений до “m” желательно добирать по способу а). при этом желательно брать уравнения соответствующие как можно большей степени “x”, или как можно меньшей.

Практическое правило разложения правильной рациональной дроби на простые.

1. Раскладываем знаменатель на простые множители.

2. Записываем разложение данной рациональной дроби на простейшие элементы с неопределенными коэффициентами.

3. Полученное равенство умножаем на общий знаменатель.

4. (1-ый вариант) Раскрываем скобки, приводим подобные члены и уравниваем коэффициенты при одинаковых степенях.

(2-ой вариант) Скобок не раскрываем, но даём аргументу “x” столько различных значений, сколько имеется неопределённых коэффициентов (используя в первую очередь корни знаменателя).

5. В результате получим систему уравнений первой степени относительно искомых коэффициентов, из которых они определяются.

6. интегрирование рациональных функций.

 

Th

выражается через элементарные функции.

Док-во:

Для любой R(x) правильной или неправильной рациональной дроби

(0<k<m), откуда

J1 – интеграл от многочлена (полинома), он всегда выражается через элементарные функции (линейная комбинация степенных функций – многочлен)

Например: J1=∫(a0xp+a1xp-1+…+ap)dx=

Поэтому далее ограничиваемся рассмотрением лишь интегралом J2. На основании теоремы о разложении правильной рациональной дроби на сумму элементарных дробей интеграл сводится к линейной комбинации интегралов от элементарных дробей. Поэтому на основании свойства линейности интеграла достаточно показать, что интегралы от элементарных дробей

(1) и (2) выражается через элементарные функции.

Рассмотрим (1) при n=1.

1.

2.

3.

4.

Рассмотрим случай, касающийся дробей вида: (2) и (3), где n=2,3,….

(2’) и (3’) n=2,3,….

Интегралы от этих функций находятся преобразованием квадратного трехчлена:

Выделим из выражений x2+px+q и ax2+bx+c полный квадрат двучлена.

А:

Б:

В таком случае (возвращаясь к «х» и подставляя вместо его значение, получим) .

В таком случае (или возвращаясь к «х» и подставляя вместо «а» его значение) .

 

Для случая (3) та же подстановка даст

Второй интеграл при любом n может быть вычислен по рекуррентной формуле

(*)

Как нам известно, полученная формула сводит вычисление интеграла к вычислению интеграла с меньшим на единицу значком.

Зная интеграл (мы берем одно из его значений), по формуле при n=1 найдем .

Полагая в формуле (*) n=2, получим далее J3 и т.д.

Таким образом можно вычислить Jn для любого n из множества N.

В таком случае

Если b2-4ac > 0 (корни ax2+bx+c действительные и разные), то

(этот интеграл вычисляется по формуле )

Если b2-4ac < 0 (корни квадратного трехчлена мнимые), то

Этот интеграл вычисляется по формуле .

Если b2-4ac = 0, то

Интеграл вида

J2 нами рассмотрен раньше; он равен arctg или выражается через логарифм.

Интегралы вида

Путем аналогичных замен переменных сводятся к интегралам типа

Для которых используются рекуррентные формулы, рассмотренные нами ранее.

сведется к .

той же подстановкой преобразуется в интеграл

Первый из этих интегралов вычисляется подстановкой .

Второй интеграл вычисляется с помощью рекуррентных формулы , приведенной ранее.

Или для нашего случая:

и т.д.

Пример:

Применим рекуррентную формулу, получим:

, откуда

Пример:

рекуррентную формулу.

Заменяя t = x – 3/2

 

 








Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту:



©2015 - 2024 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.