Интегрирование рациональных дробей.
Волгодонский инженерно-технический институт - филиал НИЯУ МИФИ
Конспект лекций
по теме:
«Интегральное исчисление»
Волгодонск
Первообразная и неопределенный интеграл.
Определение: Первообразной F(x) для функции f(x) на промежутке называют функцию, производная которой .
Пример. Для функции : первообразная на R, так как при любом х.
Лемма.
Если производная функции на промежутке , то .
Доказательство: По теореме Лагранжа для любых x1, x2 Î выполняется , где , так как Þ Þ Þв силу произвольности точек x1 и x2 F(x) = C(const).
Ч.т.д.
Теорема: Пусть функция F(x) – первообразная f(x), Ф(x) – другая первообразная f(x) Þ F(x)=Ф(x)+С.
Доказательство: так как Þ по Лемме Þ .
Ч.т.д.
Таким образом, из теоремы следует, что выражение описывает все множество первообразных функции f(x).
Определение: Неопределенным интегралом функции f(x) по переменной x называется множество всех её первообразных , где .
ò ‒ знак интеграла, f(x) – подынтегральная функция, x – переменная интеграла, ‒ подынтегральное выражение, С – const интегрированная.
Вычисление неопределенного интеграла называют интегрированием. Проверить правильность вычисления неопределенного интеграла можно продифференцировав результат.
; - верно
Свойства неопределенного интеграла.
Замечание: Условием существования неопределенного интеграла является непрерывность подынтегральной функции.
Замена переменных в неопределенном интеграле.
Пусть на промежутке T определена функция , на множестве значений которой определена функция Þ = . Можно выделить два вида с заменой переменной.
Первый тип.
.
Такие замены стандартные, их нужно знать.
Пример: = = = = = = .
Второй тип.
, нужно в подынтегральной функции поискать производную какой-нибудь её части.
Пример: = = =et+C=esin x+C.
Таблица интегралов.
| От степенных функций
|
| , n≠-1
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| От показательной функции
|
|
|
|
|
| От тригонометрических функций
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| для обратных тригонометрических функций
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| Длинный логарифм
|
|
|
| Высокие логарифмы
|
|
|
| Полезные интегралы
|
|
|
|
|
|
|
Интегрирование по частям в неопределенном интеграле.
Т.к. Þ . Проинтегрируем обе части равенства: .
Интегрирование по частям применяют в случаях:
1. Подынтегральная сумма представляет собой произведение многочлена на показательную функцию или тригонометрическую. За u берется многочлен, за dv ‒ оставшееся.
Пример:
= = = = .
= = =
= = .
2. Подынтегральная функция представляет собой произведение многочлена на логарифмическую или обратную тригонометрическую функцию. За часть u нужно взять логарифмическую или обратную тригонометрическую функцию.
Пример: = = = = = . = = = .
3. Подынтегральная функция представляет собой произведение тригонометрической на показательную функцию. Неважно что брать за u.
Пример: I= = = = = = .
; ; .
Интегрирование выражений, содержащих квадратный трехчлен.
; .
Каждый из указанных двух интегралов берется в два приема:
а) выделяется полный квадрат в квадратном трехчлене:
;
б) заменой исходный интеграл сводится к табличным интегралам.
Пример: Найти неопределенный интеграл.
.
Решение:
Выделим сначала полный квадрат из квадратного трехчлена:
.
Затем проведем замену переменных, положив и .
Тогда
Каждый из интегралов вычислим отдельно:
Здесь мы сделаем замену переменных, положив (тогда и ):
Окончательно получим
=
Интегрирование рациональных дробей.
Выражения вида , где а - вещественное, k, l - натуральные числа, а квадратный трехчлен не имеет действительных корней, назовем простейшими сомножителями.
Известна основная теорема алгебры: любой многочлен степени n можно разложить в произведение простейших сомножителей:
= (4)
где -число;
Дроби вида , где k, l - натуральные числа, - простейший сомножитель, будем называть простейшими рациональными дробями. Используя (4), можно доказать следующую теорему.
Теорема.
Любая правильная рациональная дробь может быть представлена в виде суммы простейших рациональных дробей (m и n-степени многочленов, стоящих в числителе и знаменателе соответственно). Эта сумма строится следующим образом в два этапа:
1) каждый простейший множитель вида порождает следующую сумму из слагаемых: ;
2) каждый сомножитель вида порождает следующую сумму из слагаемых:
В результате мы получим следующее разложение правильной дроби на простейшие: = +...+
...+
(5)
Считая в дальнейшем, что коэффициент при старшей степени у многочлена равен единице, на примерах решения задач покажем, как используется сформулированная теорема на практике.
Пример: Разложить дробь на простейшие дроби.
Решение: Разложим знаменатель на простейшие сомножители: .
Тогда ;
Две дроби, имеющие одинаковые знаменатели, равны, значит равны их числители, то есть .
Два многочлена тождественно равны тогда, когда у них совпадают коэффициенты при одинаковых степенях , следовательно, можно записать следующую систему уравнений:
.
Решая ее, находим, что
Окончательно положим .
Пример: Разложить дробь на простейшие дроби. Решение:Разложим знаменатель дроби на простейшие сомножители: .
Тогда или
.
Как и в предыдущей задаче, составим систему уравнений для нахождения неизвестных коэффициентов:
Выражая из первых двух уравнений и через и соответственно и подставляя найденные значения в последующие два уравнения, находим:
Отсюда
Следовательно,
Из разложения (5) следует, что интегрирование правильных рациональных дробей сводится к интегрированию простейших дробей.
Пример: Найти .
Решение: Поскольку рациональная дробь, стоящая под знаком интеграла, является неправильной, то представим ее в виде суммы многочлена и правильной дроби (для этого достаточно найти частное и остаток от деления числителя на знаменатель).
Тогда
Разложим дробь на простейшие дроби:
;
Отсюда
Следовательно,
Но тогда:
Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту:
©2015 - 2024 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.
|