Сделай Сам Свою Работу на 5

Интегрирование рациональных дробей.





Волгодонский инженерно-технический институт - филиал НИЯУ МИФИ

 

 

 

Конспект лекций

по теме:

«Интегральное исчисление»

 
 


Волгодонск

Первообразная и неопределенный интеграл.

Определение: Первообразной F(x) для функции f(x) на промежутке называют функцию, производная которой .

Пример. Для функции : первообразная на R, так как при любом х.

Лемма.

Если производная функции на промежутке , то .

Доказательство: По теореме Лагранжа для любых x1, x2 Î выполняется , где , так как Þ Þ Þв силу произвольности точек x1 и x2 F(x) = C(const).

Ч.т.д.

Теорема: Пусть функция F(x) – первообразная f(x), Ф(x) – другая первообразная f(x) Þ F(x)=Ф(x)+С.

Доказательство: так как Þ по Лемме Þ .

Ч.т.д.

Таким образом, из теоремы следует, что выражение описывает все множество первообразных функции f(x).

Определение: Неопределенным интегралом функции f(x) по переменной x называется множество всех её первообразных , где .

ò ‒ знак интеграла, f(x) – подынтегральная функция, x – переменная интеграла, ‒ подынтегральное выражение, С – const интегрированная.

Вычисление неопределенного интеграла называют интегрированием. Проверить правильность вычисления неопределенного интеграла можно продифференцировав результат.



; - верно

Свойства неопределенного интеграла.

Замечание: Условием существования неопределенного интеграла является непрерывность подынтегральной функции.

Замена переменных в неопределенном интеграле.

Пусть на промежутке T определена функция , на множестве значений которой определена функция Þ = . Можно выделить два вида с заменой переменной.

Первый тип.

.

Такие замены стандартные, их нужно знать.

Пример: = = = = = = .

Второй тип.

, нужно в подынтегральной функции поискать производную какой-нибудь её части.

Пример: = = =et+C=esin x+C.

Таблица интегралов.

  От степенных функций
, n≠-1
  От показательной функции
  От тригонометрических функций
  для обратных тригонометрических функций
  Длинный логарифм
  Высокие логарифмы
  Полезные интегралы
   

 



Интегрирование по частям в неопределенном интеграле.

 

Т.к. Þ . Проинтегрируем обе части равенства: .

Интегрирование по частям применяют в случаях:

1. Подынтегральная сумма представляет собой произведение многочлена на показательную функцию или тригонометрическую. За u берется многочлен, за dv ‒ оставшееся.

Пример:

= = = = .

= = =

= = .

2. Подынтегральная функция представляет собой произведение многочлена на логарифмическую или обратную тригонометрическую функцию. За часть u нужно взять логарифмическую или обратную тригонометрическую функцию.

Пример:
= = = = = .
= = = .

3. Подынтегральная функция представляет собой произведение тригонометрической на показательную функцию. Неважно что брать за u.

Пример:
I= = = = = = .

; ; .

 

Интегрирование выражений, содержащих квадратный трехчлен.

; .

Каждый из указанных двух интегралов берется в два приема:

а) выделяется полный квадрат в квадратном трехчлене:

;

б) заменой исходный интеграл сводится к табличным интегралам.

Пример: Найти неопределенный интеграл.

.

Решение:

Выделим сначала полный квадрат из квадратного трехчлена:

 

.

Затем проведем замену переменных, положив и .

Тогда

Каждый из интегралов вычислим отдельно:

Здесь мы сделаем замену переменных, положив (тогда и ):

Окончательно получим

=

 

Интегрирование рациональных дробей.



 

Выражения вида , где а - вещественное, k, l - натуральные числа, а квадратный трехчлен не имеет действительных корней, назовем простейшими сомножителями.

Известна основная теорема алгебры: любой многочлен степени n можно разложить в произведение простейших сомножителей:

= (4)

где -число;

Дроби вида , где k, l - натуральные числа, - простейший сомножитель, будем называть простейшими рациональными дробями. Используя (4), можно доказать следующую теорему.

Теорема.

Любая правильная рациональная дробь может быть представлена в виде суммы простейших рациональных дробей (m и n-степени многочленов, стоящих в числителе и знаменателе соответственно). Эта сумма строится следующим образом в два этапа:

1) каждый простейший множитель вида порождает следующую сумму из слагаемых: ;

2) каждый сомножитель вида порождает следующую сумму из слагаемых:

 

В результате мы получим следующее разложение правильной дроби на простейшие: = +...+

...+

(5)

Считая в дальнейшем, что коэффициент при старшей степени у многочлена равен единице, на примерах решения задач покажем, как используется сформулированная теорема на практике.

Пример: Разложить дробь на простейшие дроби.

Решение: Разложим знаменатель на простейшие сомножители: .

Тогда ;

Две дроби, имеющие одинаковые знаменатели, равны, значит равны их числители, то есть .

Два многочлена тождественно равны тогда, когда у них совпадают коэффициенты при одинаковых степенях , следовательно, можно записать следующую систему уравнений:

.

Решая ее, находим, что

Окончательно положим .

Пример: Разложить дробь на простейшие дроби. Решение:Разложим знаменатель дроби на простейшие сомножители: .

Тогда или

.

Как и в предыдущей задаче, составим систему уравнений для нахождения неизвестных коэффициентов:

Выражая из первых двух уравнений и через и соответственно и подставляя найденные значения в последующие два уравнения, находим:

Отсюда

Следовательно,

Из разложения (5) следует, что интегрирование правильных рациональных дробей сводится к интегрированию простейших дробей.

Пример: Найти .

Решение: Поскольку рациональная дробь, стоящая под знаком интеграла, является неправильной, то представим ее в виде суммы многочлена и правильной дроби (для этого достаточно найти частное и остаток от деления числителя на знаменатель).

Тогда

Разложим дробь на простейшие дроби:

;

Отсюда

Следовательно,

Но тогда:

 

 








Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту:



©2015 - 2024 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.