Раздел II. Дифференциальное исчисление функции одной переменной

Вопросы по курсу «Математический анализ»

I курс (I семестр) 2010 – 2011 учебный год

для студентов групп 1011, 1012, 1013, 1014

Раздел I. Пределы последовательностей и функций. Непрерывные функции.

1. Множества: понятие множества, способы задания множеств, операции над множествами.

2. Основные числовые множества, примеры. Вещественные числа.

3. Ограниченные и неограниченные числовые множества, точные верхние и нижние грани множеств; теорема о существовании точной верхней (нижней) грани у ограниченного сверху (снизу) множества.

4. Числовые последовательности: понятие числовой последовательности, операции над последовательностями. Ограниченные и неограниченные последовательности, бесконечно большие последовательности; примеры.

5. Бесконечно малые последовательности и их свойства. Доказательство основных свойств.

6. Сходящиеся последовательности: определение предела последовательности, основные свойства сходящихся последовательностей.

7. Свойства сходящихся последовательностей: теоремы о предельных переходах в неравенствах.

8. Монотонные последовательности, теорема (признак Вейерштрасса) о сходимости монотонных ограниченных последовательностей (без доказательства).

9. Бином Ньютона, предел последовательности , числое. Доказательство теоремы о пределе последовательности .

10. Подпоследовательности и их свойства, теорема Больцано-Вейерштрасса (без доказательства). Предельные точки последовательности, их свойства, верхний и нижний пределы последовательности, примеры.

11. Фундаментальные последовательности и их свойства, критерий Коши (необходимое и достаточное условия существования предела последовательности).

12. Предел функции в точке: определения предела функции по Гейне и по Коши, эквивалентность двух определений, примеры.

13. Односторонние пределы, бесконечные пределы в конечных точках, понятие бесконечно большой функции, предельное значение функции при . Примеры.

14. Свойства функций, имеющих предел: арифметические операции, предельный переход в неравенствах. Доказательство теоремы об арифметических операциях над функциями, имеющими предел.

15. «Замечательные» пределы. Доказательство первого замечательного предела.

16. «Замечательные» пределы. Доказательство второго замечательного предела.

17. Бесконечно малые функции, сравнение бесконечно малых, теорема об эквивалентных бесконечно малых.

18. Два определения непрерывности функции в точке, односторонняя непрерывность функций в точке, примеры.

19. Арифметические операции над функциями, непрерывными в точке; непрерывность сложной функции. Доказательство теоремы об арифметических операциях над непрерывными функциями.

20. Точки разрыва, их классификация, примеры.

21. Свойства функций, непрерывных на отрезке: теорема о прохождении непрерывной функции через любое промежуточное значение, теорема о прохождении непрерывной функции через нуль при смене знаков.

22. Ограниченность функции, непрерывной на отрезке, первая теорема Вейерштрасса. Точные грани функции и их достижение функцией, непрерывной на отрезке; вторая теорема Вейерштрасса.

23. Монотонные функции, определение обратной функции, теорема о существовании и непрерывности обратной функции. Обратные тригонометрические функции.

Раздел II. Дифференциальное исчисление функции одной переменной

1. Определение производной и ее геометрический смысл. Уравнения касательной и нормали к кривой, угол между кривыми.

2. Определение дифференцируемой функции, необходимое и достаточное условие дифференцируемости, связь между дифференцируемостью и непрерывностью. Доказательство соответствующих теорем.

3. Правила дифференцирования; дифференцирование сложной и обратной функции. Вывод формул дифференцирования суммы, произведения и частного.

4. Правила дифференцирования; дифференцирование сложной и обратной функции. Доказательство теоремы о дифференцировании сложной функции.

5. Правила дифференцирования; дифференцирование сложной и обратной функции. Доказательство теоремы о дифференцировании обратной функции.

6. Таблица производных основных элементарных функций. Вывод формул для производных степенной функции, тригонометрических функций.

7. Таблица производных основных элементарных функций. Вывод формул для производных обратных тригонометрических функций.

8. Таблица производных основных элементарных функций. Вывод формул для производных логарифмической и показательной функций.

9. Производные высших порядков. Производные n-го порядка некоторых элементарных функций: степенной, показательной, y=sin x.

10. Дифференциал функции и его геометрический смысл. Правила вычисления дифференциалов суммы, разности, произведения и частного.

11. Свойство инвариантности формы первого дифференциала (с доказательством).

12. Дифференциалы высших порядков. Неинвариантность формы дифференциалов высших порядков (на примере дифференциала второго порядка).

13. Основные теоремы для дифференцируемых функций: Ферма, Ролля, Лагранжа, Коши. Доказательство теорем Ферма и Ролля.

14. Основные теоремы для дифференцируемых функций: Ферма, Ролля, Лагранжа, Коши. Доказательство теоремы Лагранжа.

15. Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей. Доказательство правила Лопиталя для неопределенности вида .

16. Определение монотонных функций, необходимое и достаточное условие неубывания (невозрастания) функции.

17. Определение точек экстремума функции, необходимое условие экстремума, достаточные условия экстремума.

18. Определение направления выпуклости графика функции, необходимое условие выпуклости выпуклости вниз (вверх).

19. Определение точки перегиба графика функции, необходимое условие перегиба, достаточное условие перегиба.

20. Асимптоты графика функции: вертикальные и наклонные асимптоты, методы их нахождения. Доказательство теоремы о необходимом и достаточном условии существования наклонных асимптот.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: