Метод неопределенных множителей Лагранжа.
Постановка задачи:Требуется найти экстремумы функции
в предположении, что аргументы функции подчиняются m уравнениям связи:
(*)
Def. Функция имеет условный экстремум в , удовлетворяющей условиям связи (*), если в некоторой окрестности точки M0 для всех ее точек удовлетворяющих уравнениям связи (*) выполняется неравенство:
(для максимума),
(для минимума).
Мы уже, по сути, решали такую задачу, когда из уравнений связи можно было найти отдельные переменные и, в последующем, исключать их из рассмотрения. В общем случае это удается сделать далеко не всегда.
Лагранж предложил метод нахождения экстремума функции , при наличии условий связи: , где .
Cоставим функцию (называемую функцией Лагранжа) :
;
*).Необходимые условия условного экстремума функции с условиями связи (*) совпадают c необходимыми условиями экстремума (обычного) функции .
т.е. ; .
*). Достаточные условия условного экстремума функции это достаточные условия экстремума функции где – значения параметров в критической точке, т.е. фиксированы.
Пример:
1°.Найти экстремум функции , если .
Мы уже рассматривали эту задачу ранее и, при этом, выражали через . Если это невозможно сделать, выход из положения предлагает метод неопределенных множителей Лагранжа.
Составим функцию Лагранжа для решения задачи на условный экстремум:
.
Условный экстремум функции совпадает с обычным экстремумом функции Лагранжа .
Необходимые условия экстремума:
;
; .
Решая эту систему, найдем стационарные точки: 1). и
2). .
В каждой из этих точек модифицируем функцию Лагранжа, подставляя соответствующее значение и проверим достаточные условия экстремума, составляя в найденных точках соответствующие матрицы из вторых производных.
1).
2).
Учитывая что:
; ; , запишем матрицы из вторых производных для каждой из стационарных точек и проверим достаточные условия экстремума:
1). . . Экстремума нет.
2). . . Экстремума нет.
Вывод: Данная функция условных экстремумов не имеет.
2°.Найти экстремум функции , если .
На первом этапе решения задачи составим функцию Лагранжа:
.
Необходимые условия экстремума этой функции имеют вид:
; ; ; .
Из первых трех уравнений следует, что:
.
Подставляя в четвертое уравнение, находим x, а затем, из полученных выше соотношений, находим и . Получаем две стационарные точки:
.
Далее для каждой стационарной точки составляем модифицированную функцию Лагранжа. Для точки :
.
Составляя матрицу из вторых производных, получаем: . Ее главные миноры чередуются по знаку, начиная с минуса. Следовательно, второй дифференциал модифицированной функции Лагранжа отрицателен и исходная функция в точке имеет условный максимум.
Для точки :
.
Составляя матрицу из вторых производных, получаем: . Все ее главные миноры положительны. Следовательно, второй дифференциал модифицированной функции Лагранжа положителен и исходная функция в точке имеет условный минимум.
2°.Найти наибольшееи наименьшее значение функции , при условии .
В этой задаче задано, не ограничение типа «равенство», как в предыдущей, а ограничение типа «неравенство». Поэтому задача решается в два шага.
а).Найдем экстремумы исходной функции в заданной области.
Из необходимых условий экстремума функции следует:
.
Матрица из вторых производных имеет положительные главные миноры, положительный второй дифференциал и, следовательно, минимум в точке (6,–8). Этот факт, однако, нас совершенно не волнует, ибо точка (6,–8) не входит в рассматриваемую область.
б).Найдем теперь наибольшее и наименьшее значения исходной функции на границе области. Т.е. найдем наибольшееи наименьшее значение функции при условии .
Теперь ограничение типа «неравенство», заменилось на ограничение типа «равенство» и, следовательно, имеем классическую задачу на условный экстремум.
Составляем функцию Лагранжа данной задачи:
.
Необходимые условия экстремума:
.
Находя из этих соотношений , получаем две стационарные точки: и . Безусловно, можно установить характер экстремума в этих точках, однако, для нахождения наибольшего и наименьшего значения функции в этом нет никакой необходимости. Достаточно просто вычислить значения функции в найденных точках. Получаем и .
3°.Найти экстремум функции , при условии:
и область изменения переменных: x > 0, y > 0, z > 0, t > 0.
а). Функция Лагранжа: .
б). Необходимые условия экстремума функции Лагранжа:
; ; ; ; .
Отсюда: Þ Þ .
в) Преобразуем функцию Лагранжа, зафиксировав .
.
г). Для функции построим матрицу из вторых производных в окрестности точки : и, т.к. D1 = 0 то критерий Сильвестра ответа на вопрос о экстремуме не дает. При этом:
.
Находя дифференциал из уравнения связи, получаем: , что
в окрестности особой точки равно: . Подставляя в , получаем:
= =
= = .
Ясно, что представляет собой положительно определенную квадратичную форму.
В точке исходная функция имеет условный минимум.
4°.Исследовать на наибольшее и наименьшее значение функцию:
, при условии .
а). Функция Лагранжа:
б). Необходимые условия экстремума функции Лагранжа:
; ;
; .
в). Решения этой системы:
*1. ; *2. ;
*3. ; *4. ;
*5. ; *6. .
*7. Если , то должны одновременно выполняться равенства:
; ; , что невозможно. Вычисляя значения функции в найденных точках, находим наибольшее и наименьшее ее значения, при условии .
Обращаем внимание на то, что устанавливать имеется ли в критических точках экстремум, и каков характер этого экстремума (т.е. проверять достаточные условия) при решении задачи о наибольшем и наименьшем значении функции нет никакой необходимости.
Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту:
©2015 - 2024 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.
|