Проблема разрешимости исчисления высказываний.

Проблема разрешимости исчисления высказываний заключается в доказательстве существования алгоритма, который позволил бы для любой заданной формулы исчисления высказываний определить, является ли она доказуемой или не является.

Имеет место теорема: проблема разрешимости для исчисления высказываний разрешима.

Действительно, любая формула исчисления высказываний может рассматриваться как формула алгебры высказываний, и, следовательно, можно рассматривать ее логические значения на различных наборах значений входящих в нее переменных.

Пусть А – любая формула исчисления высказываний, а х₁,х₂,…,х_n – перечень входящих в нее переменных. Вычислим R_a1,a2,..,an(A) на всех наборах значений а₁, а₂,…,а_n входящих в нее переменных. Если при этом R_a1,a2,..,an(A)=1, на всех наборах а₁, а₂,…,а_n, то формула А – тождественно истинна, и, значит, по теореме о доказуемости тождественно истинной формулы она доказуема.

Если же существует набор значений переменных такой, что , то формула А – не тождественно истинная, и, значит, по теореме 1 §8 она не доказуема.

Проблема непротиворечивости исчисления высказываний.

Логическое исчисление называется непротиворечивым, если в нем не доказуемы никакие две формулы, из которых одна является отрицанием другой.

Иначе говоря, аксиоматическое исчисление называется непротиворечивым, если в нем не существует такая формула А, что доказуема как формула А, так и формула .

Проблема непротиворечивости заключается в выяснении вопроса: является данное исчисление непротиворечивым или нет?

Если в исчислении обнаруживаются доказуемые формулы вида А и , то такое исчисление называется противоречивым. В рассмотренном нами исчислении высказываний невозможно вывести одновременно формулы А и , т.е. это исчисление высказываний непротиворечиво.

Проблема полноты исчисление высказываний.

Определение 1.

Аксиоматическое исчисление высказываний называется полным в узком смысле, если добавление к списку его аксиом любой недоказуемой в исчислении формулы в качестве новой аксиомы приводит к противоречивому исчислению.

Определение 2.

Исчисление высказываний называется полным в широком смысле, если любая тождественно истинная формула в нем доказуема.

Из этих определений следует, что проблема полноты исчисления высказываний содержит два вопроса:

1) Можно ли расширить систему аксиом аксиоматического исчисления путем добавления к ней в качестве новой аксиомы какой-нибудь недоказуемой в этом исчислении формулы?

2) Является ли всякая тождественно истинная формула алгебры высказываний доказуемой в исчислении высказываний?

Рассмотренное нами исчисление высказываний полно как в узком смысле, так и в широком.

Проблема независимости аксиом исчисления высказываний.

Для всякого аксиоматического исчисления возникает вопрос о независимости его аксиом. Вопрос этот ставится так : можно ли какую-нибудь аксиому вывести из остальных аксиом, применяя правила вывода данной системы?

Если для некоторой аксиомы системы это возможно, то эту аксиому можно исключить из списка аксиом системы, и логическое ис числение при этом не изменится, т. е. класс доказуемых формул останется без изменений.

Определение 3.

Аксиома А называется независимой от всех остальных аксиом исчисления, если она не может быть выведена из остальных аксиом. Система аксиом исчисления называется независимой, если каждая аксиома системы независима.

Рассмотренная нами система аксиом исчисления высказываний независима.

Контрольные вопросы:

1. Определите исчисление высказываний как формальную систему.

2. Какие существуют классы формул в исчислении высказываний?

3. Какие алгоритмы существует для доказательства выполнимости формулы исчисления высказываний?

4. Перечислите правила, которые определяют правильный вывод из посылок.

5. Как строится семантическое дерево?

6. Что означает непротиворечивость исчисления высказываний?

7. Что означает полнота исчисления высказываний?

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: