Свободные колебания с вязким сопротивлением.

Существуют устройства (демпферы), которые создают силу пропорциональную относительной скорости (рис.17). Коэффициент пропорциональности называется коэффициентом демпфирования или коэффициентом вязкого сопротивления.

Рис.17

Дифференциальное уравнение движения точки с массой m, закрепленной на упругом элементе и демпфере имеет вид:

Начальные условия имеют вид: t=0,

Характеристическое уравнение имеет вид: .

Корни характеристического уравнения равны:

Рассмотрим возможные решения:

1-й случай

Решение имеет вид:

- условная амплитуда затухающих колебаний;

Рис.18

- круговая или циклическая частота затухающих колебаний. Измеряется в рад/сек.

- фазовый угол (или просто фаза).

- период затухающих колебаний (рис.18).

- частота колебаний (1 колеб/cек=1 Гц)

- логарифмический декремент колебаний.

Материальная точка совершает гармонические колебания с частотой и амплитудой, величина которой все время убывает.

Движение изображающей точки на фазовой плоскости показано на рис. 19.

Рис.19

2-й случай

Решение имеет вид:

Материальная точка совершает затухающее неколебательное движение (рис.39).

Рис.20

3-й случай (два одинаковых корня)

Решение имеет вид:

Материальная точка так же совершает затухающее неколебательное движение (рис.20).

Вынужденные колебания с вязким сопротивлением.

Рассмотрим движение точки под действием трех сил: одна восстанавливающая сила, вторая - сила демпфирования (сила вязкого сопротивления), а третья зависит от времени. - гармоническая возмущающая сила.

F₀ - амплитуда возмущающей силы.

- круговая частота возмущающей силы.

Рис.21

Дифференциальное уравнение движения точки с массой m, закрепленной на упругом элементе и демпфере (рис.21), под действием возмущающей гармонической силы имеет вид:

Задавая решение уравнения в виде: и подставляя его в дифференциальное уравнение получим алгебраическое уравнение для определения амплитуды вынужденных колебаний.

Разделим его на массу и обозначим тогда и окончательно

- амплитуда вынужденных колебаний.

- частота собственных колебаний

Материальная точка колеблется с амплитудой и частотой возмущающей силы .

Построим зависимость модуля амплитуды от частоты возмущающей силы (рис.22).

Рис.22

Модуль амплитуды вынужденных колебаний возрастает от (при ) до некоторой величины, а затем убывает до нуля (при ).

Примеры решения задач

Пример 1. Колебания материальной точки происходят относительно положения равновесия по закону х=А∙sinωt с периодом T=12 с. Определить, за какой наименьший промежуток времени t₁ точка удалится от положения равновесия на расстояние, равное половине амплитуды x=A/2. За какой промежуток времени t₂ она пройдет оставшуюся часть пути до максимального отклонения.

Найти: t₁-? t₂-?

Решение. В момент времени t₁ cмещение равно А/2: А/2=А∙sinωt₁, sinωt₁=1/2, т.е. ωt₁=π/6, или (2π/Т)t₁=π/6.

Отсюда t₁=T/12=1 c.

Расстояние от точки равновесия до точки максимального отклонения материальная точка проходит за t=T/4. Следовательно, t₂=T/4- T/12= 2 c.

Пример 2.За какую часть периода точка, совершающая гармонические колебания по закону косинуса, сместится на половину амплитуды, если в начальный момент она находилась в положении равновесия?

Решение.Колебания точки описываются уравнением x=Acos(ω₀t+α). Поскольку при t = 0 смещение х = 0, то начальная фаза φ должна равняться π/2, т.е. уравнение имеет вид:

По условию смещение x=A/2, следовательно, (знак «минус» не учитываем, т.к. нас интересует первое попадание колеблющейся частицы в данное положение).

Отсюда и

Пример 3.Точка совершает колебания по закону x=5cosω₀t (м), где ω₀= 2 с^–1. Определить ускорение точки в момент времени, когда ее скорость равна 8 м/с.

Решение.Зависимости скорости и ускорения колеблющейся точки от времени задаются уравнениями

и при α=0

Следовательно, . Тогда и с учетом того, что α=0, получаем

Пример 4.Максимальная скорость точки, совершающей гармонические колебания, равна 10 см/с, максимальное ускорение равно 100 см/с². Найти циклическую частоту колебаний, их период и амплитуду.

Решение.Из формул

x=Acos(ω₀t+α),

v=-Acos(ω₀t+α)=-v_maxsin(ω₀t+α),

a=-A cos(ω₀t+α)=- a_maxcos(ω₀t+α),

видно, что x_max=A; v_max=Aω; a_max=Aω².

Откуда ω₀=10 с^–1.

Период

Амплитуда

Пример 5.Амплитуда гармонических колебаний материальной точки А = 0,02 м, полная энергия колебаний W=3∙10^–7 Дж. При каком смещении от положения равновесия на колеблющуюся точку действует сила F= 2,25∙10^–5 Н?

Решение.Из можно выразить

Тогда, используя выражение F=-kx, получим

Искомое смещение

Пример 6.В качестве физического маятника используется стержень, подвешенный за один из его концов. Чему равен период колебаний при длине стержня 1 м?

Решение.Для того, чтобы воспользоваться формулой , необходимо по теореме Штейнера посчитать момент инерции стержня относительно оси, проходящей через точку подвеса:

Тогда, учитывая, что x=l/2,

Пример 7.Два одинаково направленных гармонических колебания заданы уравнениями x₁=A₁∙sinω₀t и x₂=A₂∙cosω₀t, где А₁ = 1 см; А₂ = 2 см; ω₀ = 1 с^–1. Определить амплитуду результирующего колебания А, его частоту v и начальную фазу α. Найти уравнение этого движения.

Решение.Преобразуем первое уравнение, заданное в условии задачи, к виду x=A∙cos(ω₀t+α) и получим

Тогда по формуле амплитуда результирующего колебания:

=1+4+2∙2∙cos0,5π=5 см².

Частота результирующего колебания равна частоте складывающихся колебаний

Начальную фазу находим по формуле:

Начальная фаза α=arctg(-0,5)=-26,6°=-0,46 рад.

Уравнение результирующего колебания имеет вид x=2,24∙10^-2cos(t-0,46) м.

Пример 8.Складываются два колебания одинакового направления (рис.23), выражаемых уравнениями x₁=A₁cosω(t+τ₁) и x₂=A₂cosω(t+τ₂), где А₁=1 см; А₂=2 см; τ₁=1/6 с; τ₂=1/2 с; ω=π рад/с. Определить начальные фазы φ₁ и φ₂ составляющих колебаний; найти амплитуду А и начальную фазу φ результирующего колебания.

Рис.23

Решение. Уравнение гармонического колебания имеет вид:

х=А∙cos(ωt+φ) (1)

Преобразуем уравнения, заданные в условии задачи, к такому же виду:

x₁=A₁cos(ωt+ωτ₁) и x₂=A₂cos(ωt+ωτ₂) (2)

Из сравнения выражений (2) с (1) находим начальные фазы первого и второго колебаний: φ₁=ωτ₁=π/6 рад и φ₂= ωτ₂=π/2 рад.

Для определения амплитуды А результирующего колебания удобно воспользоваться векторной диаграммой, представленной на рис.23.

Согласно теореме косинусов, получим:

φ₂-φ₁=π/3 рад.

Подставим значения А₁, А₂ и φ₂-φ₁ в (3), извлечем корень и получим: А=2,65 см.

Тангенс начальной фазы результирующего колебания определим непосредственно из рисунка 41.1:

Тогда φ=arctg(5/ )=70,9°=0,394π рад.

Так как циклические частоты складываемых колебаний одинаковы, то результирующее колебание будет иметь ту же частоту ω.

Это позволяет написать уравнение результирующего колебания в виде х=А∙cos(ωt+φ),

где А=2,65 см, ω=π рад/с, φ=0,394π рад.

Пример 9. Шарик массой m=10^-2 кг=10 г совершает гармонические колебания с амплитудой А=0,2 м и периодом Т=4 с. В начальный момент времени t=0: х=А. Найти кинетическую и потенциальную энергию в момент времени t= 1 с.

Найти: Е_к-? Е_п-?

Решение: Запишем уравнение гармонических колебаний

х=Аcos(ωt+φ₀), где ω=2π/Т.

Т.к. при t=0 х=А, то можно определить начальную фазу Асоs(ω∙0+φ₀)=A, соsφ₀=1, φ₀=0.

Таким образом, х=0,2cos[(2π/4)t]= 0,2cos[(π/2)t] (м).

Кинетическая энергия шарика определяется по формуле: Е_к=mv²/2, где v=dx/dt=-Aω∙sinωt.

Е_к=[mA²ω²∙sin²ωt]/2=5∙10^-3 Дж.

Потенциальная энергия шарика равна:

Е_п=kx²/2=[kА²cos²ωt]/2=[kА²cos²(π/2)]/2,

Е_п=0.

Пример 10. Физический маятник представляет собой стержень длиной l=1 м и массой m_c=3m₁ с прикрепленным к одному из его концов обручем диаметром d=l/2 и массой m_о=m₁. Горизонтальная ось ОZ проходит через середину стержня перпендикулярно ему (рис. 24). Определить период колебаний такого маятника T - ?.

Рис.24

Решение. Период колебаний физического маятника определяется по формуле

где J - момент инерции маятника относительно оси колебаний, m - его масса, l_c - расстояние от центра масс маятника до оси колебаний. Момент инерции маятника равен сумме моментов инерции стержня J₁ и обруча J₂:

J=J₁+J₂. (2)

Момент инерции стержня относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через его центр масс, определяется по формуле J₁=m_cl²/12, т.е. J₁=m₁l²/4.

Момент инерции обруча найдем, воспользовавшись теоремой Штейнера J=J_o+ma². Применив эту формулу к обручу, получим

J₂=m₁(l/4)²+ m₁(3l/4)² = (5/8)m₁l².

Подставив выражения J₁ и J₂ в формулу (2), найдем момент инерции маятника относительно оси вращения:

J= m₁l²/4+(5/8)m₁l²=(7/8)m₁l².

Расстояние l_c от оси маятника до его центра масс равно

l_c=(Σm_ix_i)/Σm_i=(3m₁∙0 + m₁(3l/4))/(3m₁+m₁)=(3/16)l.

Подставив в формулу (1) выражения J, J_c и массы маятника (m=3m₁+m₁=4m₁), найдем период его колебаний:

После вычисления по этой формуле получим Т=2,17 с.

Пример 11. Точка участвует одновременно в двух взаимно перпендикулярных колебаниях (рис.25), выражаемых уравнениями x=2cosω₀t (см) и y=sinω₀t (см). Найти уравнение траектории точки и построить ее, указав направление движения, если ω₀=π/3 (с^–1).

Рис.25

Решение.Преобразуем второе уравнение к виду y=Аcos(ω₀t+α) и получим:

Как видно, разность фаз складывающихся колебаний α= -π/2 и это соответствует частному случаю, когда уравнение траектории имеет вид: . Траекторией движения в этом случае является эллипс, приведенный к главным осям, уравнение которого .

Для того, чтобы указать направление движения точки, необходимо проследить, как меняется ее положение с течением времени. Для этого найдем координаты точки для двух ближайших моментов времени. Период результирующих колебаний Поэтому моменты времени, отличающиеся на одну секунду, можно считать достаточно близкими.

При t=0: x₁=2cos0=2; y₁=1cos(-π/2)=0;

При t=1 c: x₂=2cos(π/3)=1; y₂=1cos(π/3-π/2)=1cos(-π/6)=0,86.

Следовательно, точка 1 имеет координаты (2; 0), а точка 2 – (1; 0,86). Это означает, что движение происходит против часовой стрелке.

Пример 12.Амплитуда колебаний математического маятника длиной 1 м за время 10 мин уменьшилась в 2 раза. Определить коэффициент затухания, логарифмический декремент затухания колебаний и количество колебаний, совершенных за это время. Записать уравнение колебаний, если в начальный момент маятник был отведен из положения равновесия на 5 см и отпущен.

Решение.Период и частоту колебаний математического маятника найдем из выражения:

Запишем отношение амплитуд (начальной A₀=5 см и через время t = 10 мин = 600 с):

следовательно, βt=ln2, отсюда

Количество колебаний N, совершенных за время t , найдем из того, что t=NT, а, значит, βNT=ln2, и тогда

Логарифмический декремент затухания определим по:

δ=βT=2∙10^-3.

Выбор гармонической функции для написания уравнения колебаний проведем на основании того, что в начальный момент смещение точки от положения равновесия равно амплитуде, а этому условию удовлетворяет функция косинус. Тогда уравнение данных затухающих колебаний имеет вид: x=5∙10^-2e^-0,001tcosπt (м).

Пример 13.Пружинный маятник, (жесткость пружины которого равна k = 10 Н/м, а масса груза m = 100 г) совершает вынужденные колебания в вязкой среде с коэффициентом сопротивления r = 0,02 кг/с. Определить коэффициент затухания β и резонансную амплитуду А_рез, если амплитудное значение вынуждающей силы F₀ = 10 мН.

Решение.Коэффициент затухания:

Собственная частота:

Тогда резонансная частота:

Пример 14.Тело D массы m_D = 10 кг расположено на гладкой плоскости, наклоненной под углом = 30° к горизонту, и прикреплено к концу A пружины, коэффициент жесткости которой с = 36.1 Н/см (рис. 26). В некоторый момент к грузу D присоединяют груз Е массы m_Е = 15 кг. В тот же момент времени верхний конец пружины B начинает двигаться вдоль наклонной плоскости по закону см, причем точка O₁ совпадает со средним положением точки B (при ). Сопротивление движению двух грузов пропорционально их скорости v, , где = 100 (Нс)/м – коэффициент сопротивления. Найти уравнение движения грузов D иE.

Рис.26

Решение. Направим оси O_x и вдоль наклонной плоскости вниз, в сторону растяжения пружины (рис. 27). Начало O координатной оси O_x совместим с положением покоя грузов D и E, соответствующим статической деформации пружины, при условии, что точка B занимает свое среднее положение ( ). В этом положении пружина растянута на величину , где и – статические деформации пружины под действием груза D и E.

Рис.27

Изобразим грузы в промежуточном положении, отстоящем от начала координат на величину x (точка M). Если бы верхний конец пружины был неподвижен, то в этом положении пружина была бы растянута на величину ( ). Но при смещении вниз верхнего конца пружины на некоторую величину удлинение пружины окажется меньшим на эту величину , т.е. . Следовательно, проекция силы упругости пружины на ось x в точке M будет определяться выражением: . Проекция силы сопротивления . Таким образом, дифференциальное уравнение движения грузов в проекции на ось x имеет вид

,

где . Учитывая, что в состоянии статического равновесия грузов , получим

,

или

, (1)

где

Начальные условия для уравнения (1) определяются соотношениями

Как известно, решение линейного дифференциального уравнения (1) складывается из общего решения соответствующего однородного уравнения

(2)

и частного решения x₂ неоднородного уравнения (1)

. (3)

Общее решение однородного уравнения (2) имеет вид

. (4)

Частное решение неоднородного уравнения (3) будем искать в виде

. (5)

Определив производные подставив их в уравнение (3), получим

Чтобы полученное равенство выполнялось в любой момент времени, необходимо равенство нулю выражений в квадратных скобках. Таким образом, для определения коэффициентов A₁ и A₂ имеем систему из двух линейных уравнений

решение которой записывается так

или после подстановки численных данных

А₁ = –0.7472 см, А₂ = –0.0034 см.

причем скорость точки равна

Постоянные интегрирования C₁ и C₂ определим из начальных условий: С₁ = –1.2928 см, С₂ = –0.2181 см. В результате уравнение движения груза имеет вид

Вопросы для самопроверки

- Под действием какой силы совершаются свободные колебания материальной точки?

- Какой вид имеет дифференциальное уравнение свободных колебаний материальной точки?

- От каких факторов зависят частота, период, амплитуда и начальная фаза свободных колебаний материальной точки?

- Каков вид графиков свободных и затухающих колебаний, а также апериодического движения материальной точки?

- Какой вид имеет дифференциальное уравнение вынужденных колебаний материальной точки и каково его общее решение?

- Из каких составляющих движений складывается движение материальной точки, находящейся под действием восстанавливающей и возмущающей сил?

- Каковы частота и период вынужденных колебаний материальной точки?

- Какие вынужденные колебания называются колебаниями малой частоты и какие – колебаниями большой частоты? Чем характеризуется тот и другой вид колебаний?

- От каких факторов зависит амплитуда вынужденных колебаний точки?

- Что называют коэффициентом динамичности и каков график его зависимости от отношения p/k?

- При каком условии возникает явление биений? Каков график биений?

- При каких условиях возникает резонанс и каковы уравнения и график вынужденных колебаний материальной точки при резонансе?

- Как влияет сопротивление, пропорциональное скорости, на амплитуду, фазу, частоту и период вынужденных колебаний?

- Как определить максимальное значение амплитуды вынужденных колебаний при данном значении коэффициента затухания n?

- При каком значении коэффициента затухания максимум амплитуды вынужденных колебаний не существует?

- Какова зависимость сдвига фазы колебаний от частоты изменения возмущающей силы p и от коэффициента затухания n?

Задачи для самостоятельного решения

1. Написать уравнение гармонического колебательного движения с амплитудой в 5 см, если в 1 мин совершается 150 колебаний и начальная фаза колебаний равна 45°.

2. Определить максимальные значения скорости v_max и ускорения a_max точки, совершающей гармонические колебания с амплитудой А=3 см и циклической частотой ω=π/2 рад/с.

3. Точка совершает гармонические колебания. Наибольшее смещение точки равно 10 см, наибольшая скорость 20 см/с. Найти циклическую частоту колебаний и максимальное ускорение точки.

4. Точка совершает колебания по закону x=A sinωt. В некоторый момент времени смещение точки х₁ оказалось равным 5 см. Когда фаза колебаний увеличилась вдвое, смещение х₂ стало равным 8 см. Найти амплитуду А колебаний.

5. Написать уравнение движения, получающегося в результате сложения двух одинаково направленных гармонических колебательных движений с одинаковым периодом 8 с и одинаковой амплитудой 0,02 м. Разность фаз между этими колебаниями равна π/4. Начальная фаза одного из колебаний равна нулю.

6. Найти амплитуду и начальную гармонического колебания, полученного от сложения одинаково направленных колебаний, данных уравнениями х₁=0,02sin(5πt+π/2) м и х₂=0,03sin(5πt+π/4) м.

7. Материальная точка массой 50 г совершает колебания, уравнение которых имеет вид x=Acosωt, где А=10 см, ω=5 рад/с. Найти силу, действующую на точку в двух случаях: 1) в момент, когда фаза ωt=π/3 рад; 2) в положении наибольшего смещения точки.

8. Точка участвует в двух колебаниях одинакового периода с одинаковыми начальными фазами. Амплитуда колебаний А₁=3 см и А₂=4 см. Найти амплитуду результирующего колебания, если: 1) колебания совершаются в одном направлении, 2) колебания взаимно-перпендикулярны.

9. Точка участвует одновременно в двух взаимно-перпендикулярных колебаниях x=2 sinωt м и у=2 соsωt м. Найти траекторию движения точки.

10. Точка участвует одновременно в двух взаимно-перпендикулярных колебаниях x=sinπt м и у = 2 sin(πt+π/2) м. Найти траекторию движения точки и вычертить ее с нанесением масштаба.

11. Точка участвует одновременно в двух взаимно-перпендикулярных колебаниях x=sinπt м и у = 4 sin(πt+π) м. Найти траекторию движения точки и вычертить ее с нанесением масштаба.

12. Сложите графически два гармонических, одинаково направленных колебания равных периодов, но смещенных по фазе друг относительно друга на π. Амплитуды относятся между собой как 3:1.

13. Складываются два гармонических колебания одного направления с одинаковыми периодами 1,5 с и амплитудами по 2 см. Начальные фазы колебаний φ₁=π/2 рад и φ₂=π/3 рад. Определить амплитуду и начальную фазу результирующего колебания. Найти его уравнение и построить с соблюдением масштаба векторную диаграмму сложения амплитуд.

14. Складываются три гармонических колебания одного направления с одинаковыми периодами 2 с и амплитудами по 3 см. Начальные фазы колебаний φ₁=0, φ₂=π/3 рад и φ₃=2π/3 рад. Построить векторную диаграмму сложения амплитуд. Определить из чертежа амплитуду и начальную фазу результирующего колебания.

15. Определить массу тела, совершающего гармонические колебания с амплитудой 0,1 м, частотой 2 Гц и начальной фазой 30°, если полная энергия колебаний 7,7 мДж. Через сколько секунд от начала отсчета времени кинетическая энергия будет равна потенциальной?

16. Грузик массой 250 г, подвешенный к пружине, колеблется по вертикали с периодом Т=1 с. Определить жесткость пружины.

17. Гиря, подвешенная к пружине, колеблется по вертикали с амплитудой 4 см. Определить полную энергию колебаний гири, если жесткость пружины равна 1 кН/м.

18. Тонкий обруч, подвешенный на гвоздь, вбитый горизонтально в стену, колеблется в плоскости, параллельной стене. Радиус обруча равен 30 см. Вычислить период колебаний обруча.

19. Найти возвращающую силу в момент t = 1 с и полную энергию материальной точки, совершающей колебания по закону x=A cos ωt, где А=20 см, ω=2π/3 рад/с. Масса материальной точки равна 10 г.

20. Определить массу тела, совершающего гармонические колебания с амплитудой 0,1 м, частотой 2 Гц и начальной фазой 30°, если полная энергия колебаний 7,7 мДж. Через сколько секунд от начала отсчета времени кинетическая энергия будет равна потенциальной?

21. Однородный стержень совершает малые колебания в вертикальной плоскости около горизонтальной оси, проходящей через его верхний конец. Длина стержня 0,5 м. Найти период колебаний стержня.

22. Найти период колебаний стержня предыдущей задачи, если ось вращения проходит через точку, находящуюся на расстоянии 10 см от его верхнего конца.

23. Однородный шарик подвешен на нити, длина которой равна радиусу шарика. Во сколько раз период малых колебаний этого маятника больше периода малых колебаний математического маятника с таким же расстоянием от точки подвеса до центра тяжести?

24. Период колебаний крутильного маятника, состоящего из кольца, соединенного спиральной пружиной с осью вращения, равен Т=4с. Определить момент инерции, если жесткость пружины k=10^-2 Нм. Трением пренебречь.

25. Математический маятник длиной 40 см и физический маятник в виде тонкого прямого стержня длиной 60 см синхронно колеблются около одной и той же горизонтальной оси. Определить расстояние центра масс стержня от оси колебаний.

26. Ареометр массой m=50 г, имеющий трубку диаметром d=1 см, плавает в воде. Ареометр немного погрузили в воду и затем предоставили самому себе, в результате чего он стал совершать гармонические колебания. Найти период T этих колебаний.

27. Амплитуда затухающих колебаний маятника за время t₁=5 мин уменьшилась в два раза. За какое время t₂, считая от начального момента, амплитуда уменьшится в восемь раз?

28. Амплитуда колебаний маятника длиной 1 м за время 10 мин уменьшилась в два раза. Определить логарифмический декремент колебаний.

29. За время 8 мин амплитуда затухающих колебаний маятника уменьшилась в три раза. Определить коэффициент затухания.

30. Логарифмический декремент колебаний маятника равен 0,003. Определить число полных колебаний, которые должен сделать маятник, чтобы амплитуда уменьшилась в два раза.

31. Найти частоту колебаний груза массой m=0,2 кг, подвешенного на пружине и помещенного в масло, если коэффициент трения в масле r=0,5 кг/с, а жесткость пружины k=50 Н/м.

В следующих задачах требуется найти уравнение движения груза D массы m_D или системы грузов D и E массами m_D и m_E, отнеся движение к оси x. Начало неподвижной системы координат следует выбирать в положении статического равновесия груза или системы грузов. Грузы считать материальными точками. Весом пружин, жестких брусков, соединительных стержней и демпферов (устройств для создания сил вязкого сопротивления) пренебречь. Направление начальной скорости v₀ совпадает с положительным направлением оси x. Значение величины задается преподавателем.

Задача 1. Груз D присоединен к системе трех пружин (рис.28) жесткостью посредством бруска AB. Точка F подвеса груза выбрана из условия, что брусок движется поступательно, т.е. где – жесткость пружины, эквивалентной последовательно соединенным пружинам жесткостью соответственно и . В некоторый момент времени к покоящемуся грузу D подвешивают груз E и сообщают системе грузов D и E начальную скорость . Сопротивление движению двух грузов пропорционально их скорости v, , где – коэффициент сопротивления.

mD, кг	mE, кг	v0, см/с	c1, Н/см	c2, Н/см	c3, Н/см	, кг/с	, см	p, 1/с
							–	–

Рис.28

Задача 2. К пружине жесткостью присоединен брусок AB (рис.29), к которому присоединены параллельные пружины жесткостью соответственно и , в свою очередь, соединенные с бруском A₁B₁. К бруску A₁B₁ подвешены покоящиеся грузы D и E. Точка подвеса грузов и точка F подвеса бруска АВ выбраны так, что бруски движутся поступательно, т.е. . В некоторый момент времени стержень, соединяющий грузы, перерезают и сообщают грузу D начальную скорость .

mD, кг	mE, кг	v0, см/с	c1, Н/см	c2, Н/см	c3, Н/см	, кг/с	, см	p, 1/с
0.8						–	–	–

Рис.29

Задача 3. Покоящиеся грузы D и E присоединены к системе трех пружин (рис.30) жесткостью соответственно посредством бруска AB. Точка F подвеса грузов выбрана из условия, что брусок движется поступательно, т.е. , где – жесткость пружины, эквивалентной последовательно соединенным пружинам жесткостью . В некоторый момент времени стержень, соединяющий грузы, перерезают и сообщают грузу D начальную скорость . Сопротивление движению груза D пропорционально его скорости v, , где – коэффициент сопротивления.

mD, кг	mE, кг	v0, см/с	c1, Н/см	c2, Н/см	c3, Н/см	, кг/с	, см	p, 1/с
0.5							–	–

Рис.30

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: