Вычисление объема тела вращения

Руководство к решению контрольной работы

№2 по теме «Интеграл»

Неопределенный интеграл.

При интегрировании функций наиболее часто используются следующие его свойства:

1) ;

2) ;

3) .

Пример 1. Найти .

Решение. Воспользуемся свойствами 1-3, а также таблицей интегралов:

= +3 = .

Ответ: .

Иногда при интегрировании удобно использовать свойство дифференциала:

. (2)

Пример 2. Найти .

Решение. Согласно формуле (2) можно записать:

.

Теперь воспользуемся свойством 2, а также таблицей интегралов:

Ответ: .

Инвариантность формул интегрирования позволяет применять при интегрировании подведение под знак дифференциала части подинтегральной функции, основанное на следующей формуле:

. (3)

Пример 3. Найти .

Решение. Воспользуемся методом подведения под знак дифференциала, а также таблицей интегралов:

= = .

Ответ: .

Интегрирование по частям

Формулой интегрирования по частям называют следующую формулу:

. (4)

Обычно за выбирают такое выражение, интегрирование которого не вызывало бы трудностей, а за u – функцию, дифференцирование которой приводит к ее упрощению.

Можно выделить два основных класса интегралов, берущихся по частям:

1) ; ; ;

– здесь за u принимают многочлен , за – оставшееся выражение, то есть, например .

2) ; ;

– здесь за u принимают обратную функцию, например, arcsinbx, за – оставшееся выражение, то есть .

Интегрирование рациональных дробей

Рациональной дробью называют отношение двух многочленов и , т.е. = . Для интегрирования рациональной дроби необходимо предварительно разложить , т.е. представить ее в виде суммы элементарных дробей видов:

,

где k, r – целые положительные числа, а трехчлен не имеет действительных корней. Если дробь неправильная ( ), то необходимо предварительно выделить целую часть дроби.

Интегрирование некоторых тригонометрических функций

Для нахождения интегралов видов и используют тригонометрические формулы:

(5)

Для нахождения интегралов вида , где R – рациональная функция (не содержащая sinх и cosx под знаком корней), применяют универсальную подстановку: , которая сводит к интегралу от рациональной функции, т.к.

и (6)

Формула Ньютона–Лейбница

Формула Ньютона–Лейбницадля вычисления определенного интеграла имеет вид:

, (7)

если и непрерывна на .

Пример 4. Вычислить определенный интеграл .

Решение. Это определенный интеграл, берущийся по частям, поэтому, применяя формулу (4), а затем формулу Ньютона–Лейбница, получаем:

= .

Ответ: .

Несобственные интегралы первого и второго рода

Интеграл

(8)

называется несобственным интегралом первого рода.

Интеграл

, (9)

где a – точка бесконечного разрыва функции называется несобственным интегралом второго рода.

Если b – точка бесконечного разрыва функции , то

, (10)

– тоже несобственный интеграл второго рода.

Несобственный интеграл называется сходящимся, если существует конечный предел в правой части равенства. Если же предел не существует или равен бесконечности, то интеграл называется расходящимся.

Пример 5. Исследовать на сходимость интеграл .

Решение. Это несобственный интеграл первого рода, поэтому

Следовательно, интеграл сходится и равен .

Ответ: интеграл сходится и равен .

Пример 6. Исследовать на сходимость интеграл .

Решение. Это несобственный интеграл второго рода, так как х = 1 –точка разрыва второго рода подинтегральной функции, поэтому

,

следовательно, интеграл расходится.

Ответ: интеграл расходится.

Вычисление площади в декартовой системе координат (ДСК)

Криволинейной трапецией в ДСК называется фигура, ограниченная прямыми x = a, x= b, y = 0 и кривой y = f(x), где для (рис. 1).

Формула для вычисления площади криволинейной трапеции:

. (11)

Если фигура Ф ограничена в ДСК линиями x = a, x= b, y = f₁(x) и y = f₂(x) где для (рис. 2), то площадь Ф можно вычислить по формуле:

. (12)

9. Вычисление площади в полярной системе координат (ПСК)

Криволинейным сектором в ПСК называется фигура, ограниченная лучами и кривой , где (рис. 3).

Формула для вычисления площади криволинейного сектора:

. (13)

Вычисление объема тела вращения

Пусть криволинейная трапеция, ограниченная прямыми x = a, x= b,

y = 0 и непрерывной кривой y = f(x), где для , вращается вокруг оси ОX. Объем полученного при этом тела вращения (рис. 4) вычисляется по формуле:

. (14)

Если криволинейная трапеция ограничена линиями x = a, x= b,

y₁ = f₁(x) и y₂ = f₂(x) где для , то объем полученного при ее вращении вокруг ОX тела (рис. 5) можно вычислить по формуле:

.(15)

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: