Определение определенного интеграла.

Интегрирование функций.

Неопределенный интеграл.

Определение неопределенного интеграла.

Восстановление функции по известной производной этой функции называется интегрированием функции.

Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на некотором отрезке [а;в] если для всех значений х на данном отрезке выполняется равенство F¢(x) = f(x).

Множество всех функций, производные которых равны f(x), обозначается символом

òf(x)dx

и называется неопределенным интегралом от функции f(x).

В данной формуле по определению:

f(x) – подинтегральная функция,

f(x)dx – подинтегральное выражение.

Если F(x) – первообразная для функции f(x), то множество функций

F(x) + C будет неопределенным интегралом от функции f(x), т.е.:

òf(x)dx = F(x) + C,

где С – произвольная постоянная.

Свойства неопределенного интеграла.

Из определения неопределенного интеграла вытекают следующие его свойства.

1. Производная неопределенного интеграла равна подинтегральной функции:

[òf(x)dx]¢ = [F(x) + C] = F¢(x) = f (x)

2. Постоянный множитель можно выносить за знак неопределенного интеграла:

òK f(x)dx = K òf(x)dx

3. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной:

òdF(x) = F(x) + C

4. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы двух функций равен алгебраической сумме интегралов от этих функций в отдельности:

ò(f(x) ± g(x))dx = òf(x)dx ± òg(x)dx

Таблица основных интегралов.

Нижеприведенная таблица неопределенных интегралов получена либо из сравнения с таблицей производных из понимания того, что интегрирование – процедура, обратная дифференцированию, либо непосредственным дифференцированием правой части формулы. Таблица очень краткая и приведена в качестве иллюстрации.

№ п/п	òf(x)dx= F(x) + C
	∫

Основные методы интегрирования.

Нахождение неопределенного интеграла – сложная математическая задача, нет единого универсального метода, который позволил бы решить данную задачу. По алгебраическому виду интеграла его можно отнести к определенному классу интегралов, для которых метод нахождения неопределенного интеграла разработан. Хотя существует много различных методов интегрирования, все они основаны на преобразовании (приведении) первоначального интеграла к табличному виду. Рассмотрим некоторые из простых методов.

Метод интегрирования по формулам.

Способ нахождения неопределенных интегралов методом непосредственного использования таблицы интегралов в литературе по математическому анализу имеет несколько названий: непосредственное интегрирование, метод тождественных преобразований, метод интегрирования по формулам. Как правило, для того, чтобы привести интеграл к табличному виду, с первоначальным интегралом òf(x)dx необходимо проделать несложные тождественные преобразования.

Приведем несколько примеров.

1. ò(3cos x + 4x³ – e^x )dx = ò3cos x dx + ò4x³ dx - òe^x dx = 3sin x + x⁴ - e^x +C

2.

3.

=

Правильность интегрирования проверяется дифференцированием найденного неопределенного интеграла. Производная должна быть равна подитегральной функции. Проверка основана на свойстве равенства

F¢(x) = f(x).

Метод замены переменных.

В некоторых случаях введение новой переменной интегрирования

x = j(t) позволяет свести неопределенный интеграл

òf(x)dx (1)

к табличному виду. Такой метод называется методом подстановки или методом замены переменной.

Алгоритм метода замены переменной для неопределенного интеграла следующий:

1. Введем новую переменную x = j(t) которая должна свести интеграл (1) к табличному виду. Решая данное уравнение относительно t имеем:

t = ψ(x)

2. В первоначальном интеграле (1) сделаем замену переменных:

f (x)=

dx = j¢(t)dt

( 2 )

3. Интеграл (2) должен решаться в силу основного свойства подстановки x = j(t): данная подстановка должна сводить первоначальный интеграл к табличному виду. Решение интеграла (2) имеет следующий вид:

( 3 )

4. В интеграле (3) сделаем замену переменных t = ψ(x), то есть возвращаемся к первоначальной переменной х:

F(t) + C = F(ψ(x)) + C ( 4 )

Для того, чтобы убедиться в том, что найденный интеграл (4) найден правильно, можно продифференцировать выражение (4) и сравнить с подинтегральной функцией интеграла (1). Подинтегральная функция f(x) должна совпадать с производной F¢(ψ(x)):

F¢(ψ(x)) = f(x).

3.4.3. Примеры нахождения неопределенного интеграла.

Определенный интеграл.

Определение определенного интеграла.

Пусть на отрезке [а; в] определена непрерывная функция f(x). Отрезок [а; в] разобьем на частичные отрезки Dx = x_i+1- x_i. Выберем на каждом отдельном отрезке Dx_i произвольным образом точку t_i и составим сумму:

S =

Если существует предел

I= , то функция f(x) называется интегрируемой на отрезке [а; в], а число I называется определенным интегралом функции f(х) на отрезке [а; в] и обозначается символом:

По определению функция f(x) называется подинтегральной функцией, f(x)dx – подынтегральным выражением, a и b – пределы интегрирования (a – нижний предел, b – верхний предел).

Геометрически определенный интеграл представляет собой площадь криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции y=f(x), снизу – отрезком [a; b] оси ОХ, с боков отрезками прямых х =а и х = b.

Рис. 2

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: