Исследование кривой второго порядка.

Классификация кривых второго порядка

В зависимости от значения инварианта принята следующая классификация кривых второго порядка:

кривая эллиптического типа;

кривая параболического типа;

кривая параболического типа.

Кривая второго порядка называется центральной, если

Кривые эллиптического и параболического типа являются центральными кривыми. Центром кривой второго порядка Г называется такая точка плоскости, по отношению к которой точки этой кривой расположены симметрично парами. Точка является центром кривой второго порядка, определяемой уравнением в том и только в том случае, когда ее координаты удовлетворяют уравнениям

Если линия — эллипс и —меньший по абсолютной величине корень характеристического уравнения, то формула

определяет угловой коэффициент большей оси эллипса.

Если уравнение определяет гиперболу и — корень характеристического уравнения, знак которого совпадает со знаком то формула

дает угловой коэффициент вещественной оси гиперболы.

Расположение параболы относительно начальной системы координат будет известно, если будут известны вершины параболы, вектор, направленный по ее оси в сторону вогнутости, и параметр.

Вершина параболы определяется при решении уравнения оси параболы

или

Совместно с уравнением параболы

Вектор

параллелен оси параболы и направлен в сторону ее вогнутости. Параметр параболы определяется по формуле:

Приведение к каноническому виду уравнения кривой второго порядка

Если кривая Г задана в декартовой прямоугольной системе координат уравнением то, применяя преобразования поворота осей координат и переноса начала координат, можно привести это уравнение к каноническому виду.

I. Приведение к каноническому виду уравнения центральной кривой

Пусть дано уравнение, определяющее центральную кривую второго порядка:

а) Совершим параллельный перенос начала координат в точку При этом координаты произвольной точки плоскости в системе координат и координаты в новой системе координат связаны соотношениями

Подставляя выражение в уравнение

, получим

Раскрывая скобки и приводя подобные члены, получим

+

В уравнении коэффициенты при приравниваем нулю. Получим систему уравнений относительно

которая определяет координаты центра исходной кривой. Решим эту систему и найдем координаты центра . Подставим полученные значения в уравнение. В новой системе координат в уравнении коэффициенты равны нулю и уравнение примет упрощенный вид

Отметим, что при параллельном переносе начала координат старшие коэффициенты не изменяются.

б) Если то дальнейшее упрощение уравнения достигается при помощи поворота осей координат на угол

При повороте осей координат на угол координаты произвольной точки плоскости в системе координат и координат в новой системе координат связаны соотношениями

Подставляя в уравнение кривой, получим

Раскроем скобки:

+

+

Приводя подобные члены, получим уравнение

Выберем угол такой, что в уравнении коэффициент при произведении равен нулю:

Это требование эквивалентно уравнению

.

После поворота на угол , удовлетворяющий условию

, уравнение

Не будет содержать слагаемое с произведением , то есть в новой системе координат уравнение примет вид

Выведем следующие обозначения для коэффициентов:

Получим уравнение

Соответствующее одному из канонических уравнений (см. «Теорему 1»).

Замечание 1.

Корни квадратичного уравнения соответствуют двум взаимно перпендикулярным направлениям (так как по теореме Виета Поэтому вибирая вместо , мы только меняем ролями оси

Замечание 2.

Значения выражаются через по формулам

Замечание 3.

Угол можно так же выбрать из условия которое следует из равенства .

Исследование кривой второго порядка.

Ø Определим зависимость типа кривой второго порядка, заданной уравнением

(1)

от параметра с помощью инвариантов

Решение. Для уравнения (1) имеем:

В соответствии с классификацией кривых второго порядка:

I. Если , то уравнение (1) определяет кривую параболического типа. Но , следовательно, если , то уравнение (1) определяет кривую параболического типа.

Но при этом , следовательно, если , то уравнение (1) определяет параболу.

II. Если , то данная кривая – центральная.Следовательно, при данная кривая – центральная.

1. Если , то уравнение (1) определяет кривую эллиптического типа. Следовательно, если , то данная кривая есть кривая эллиптического вида.

Но при этом , и в соответствии спризнаком кривых второго порядка ( ; получим:если ), то уравнение (1) определяет эллипс.

2. Если , то уравнение (1) определяет кривую гиперболического типа.

Следовательно, если , то уравнение (1) определяет кривую гиперболического типа.

а) Если , и , то уравнение (1) определяет две пересекающиеся прямые. Получим:

Следовательно, если , то уравнение (1) определяет две пересекающиеся прямые.

б) Если , и , то данная кривая – гипербола. Но , при всех

, за исключением точки

Следовательно, если ), то уравнение (1)определяет гиперболу.

Используя полученные результаты, построим таблицу: ­­­­­­­­

Значение параметра
Тип кривой	Эллипс	Парабола	Гипербола	Две пересекающие прямые	Гипербола

Ø Дано уравнение кривой второго порядка

(2)

Требуется:

1. Определить тип кривой с помощью инвариантов.

2. Решить характеристическое уравнение, записать каноническое уравнение и определить расположение кривой.

3. Построить каноническую систему координат и кривую в общей системе координат.

4. Привести уравнение кривой к каноническому виду, применяя преобразования параллельного переноса и поворота координатных осей.

1.Определим тип кривой (2) с помощью инвариантов. Для уравнения кривой второго порядка (2) имеем:

Вычислим инварианты кривой

Так как то данная кривая – центральная.

В соответствии с классификацией кривых второго порядка, так как то данная кривая – гипербола.

2a) Определим расположение данной кривой. Расположение гиперболы, относительно начальной системы координат будет известно, если будут известны координаты центра и угловой коэффициент вещественной оси гиперболы.

Уравнения для определения координат центра данной кривой имеют вид:

(3)

Решив данную систему, получим координаты центра данной кривой: Следовательно, точка – центр данной кривой.

Угловой коэффициент оси – вещественной оси гиперболы в соответствии с

3. Напишем уравнение осей новой системы координат в исходной системе координат

Так как система – каноническая для данной гиперболы, то ее центр находится в центре кривой – точке проходят через точку .

В пункте 2 установлено, что угловой коэффициент оси Уравнение прямой, проходящей через данную точку с заданным угловым коэффициентом имеет вид Следовательно, ось в системе координат задана уравнением

Так как ось перпендикулярна оси то ее угловой коэффициент Следовательно, ось задана уравнением или

Используя полученную информацию, построим каноническую систему координат и данную гиперболу в исходной системе координат

4. Приведем уравнение кривой (2) к каноническому виду, применяя преобразования параллельного переноса и поворота координатных осей.

Мы установили, что данная кривая – центральная, поэтому используем методику к каноническому виду для уравнения центральной кривой.

a) Совершим параллельный перенос начала координат в точку При этом координаты произвольной точки М плоскости в системе координат и координат в новой системе координат связаны соотношениями

Подставляя эти выражения в уравнение (2), получим:

Раскрывая скобки и приводя подобные члены, получим уравнение

координат :

(3)

б) Так как то дальнейшее упрощение уравнения (3) достигается при помощи поворота осей координат на угол . При повороте осей координат на угол координатных произвольной точки М плоскости в системе координат и координаты X,Y в новой системе координат связаны соотношениями

(4)

Подставляя (4) в уравнение кривой (3), получим:

Раскроем скобки:

Приводя подобные члены, получим уравнение

(5)

Выберем угол такой, что в уравнении (5) коэффициент при произведении XY равен нулю:

(6)

Это требование эквивалентно уравнению

(7)

Решая уравнение (7), получим

В пункте 2 установлено, что угловой коэффициент вещественной оси к оси Ox (а следовательно, и к оси равен ее угловому коэффициенту ( , то угол поворота выберем такой, что Тогда согласно (7.1) получим:

Подставляя эти значения в уравнение (6), получим

т.е. преобразованное уравнение будет иметь вид

и, соответственно, уравнение

— это каноническое уравнение исходной гиперболы.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: