Тема 3. Функции Вебера и Ханкеля.

По определению, цилиндрическая функция есть произвольное решение дифф. уравнения (2.1), поэтому её общее выражение содержится в формуле

,

где и − какие-нибудь линейно независимые решения уравнения (2.1); и − постоянные, которые могут зависеть от . Для случая, когда отлично от целого числа, в качестве частных решений уравнения (2.1) можно взять функции Бесселя первого рода порядка и . Для этого необходимо показать, что для нецелых функции и линейно независимы.

Рассмотрим поведение функции

, , . (3.1)

и функции

, , . (3.2)

в окрестности начала координат. Если не равно целому числу, асимптотическое поведение рассматриваемых решений при будет определяться членами ряда при (когда степень знаменателя максимальна)

, , .

Эти формулы верны для всех за исключением тех значений, когда знаменатель обращается в бесконечность, т.е. Тогда

, .

Таким образом, функции и будут линейно независимы и общее выражение цилиндрической функции при будет таким:

. (3.3)

Рассмотрим теперь случай, когда ( ). В этом случае

,

,

поскольку для всех и первые членов для будут равны нулю. Для этой функции произведём замену переменной суммирования . Получим

, . (3.4)

Таким образом, функции Бесселя первого рода с целым индексом линейно зависимы и выражение (3.3) не является общим интегралом уравнения Бесселя (2.1) в этом случае. Следовательно, для целых надо построить ещё одно решение уравнения Бесселя.

Отметим асимптотические свойства функций Бесселя первого рода при . Из формулы (3.1) следует (рассматривается только первый член ряда), что

, , . (3.5)

Следовательно, функция ограничена в окрестности начала координат (рис. 2.1).

Будем предполагать теперь, что не является целым. Введём в рассмотрение функцию Бесселя второго рода , которая для произвольных , принадлежащих плоскости с разрезом ( ), определяется выражением

, , . (3.6)

Эта функция для нецелых является решением уравнения Бесселя (2.1) и линейно независима с функцией Бесселя первого рода (т. к. в неё входят и ). Функция (3.6) − это цилиндрическая функция второго рода или функция Вебера. В некоторых работах её обозначают , а саму функцию называют функцией Неймана.

При целом функция Вебера (3.6) приобретает неопределённый вид ( , ). Под значением функции в этом случае понимают предел

.

Покажем, что функция удовлетворяет уравнению Бесселя. Так как числитель и знаменатель в (3.6) − целые функции , то рассматриваемый предел существует и может быть вычислен по правилу Лопиталя. Применение этого правила даёт следующее представление:

. (3.7)

Для функций и можем записать уравнения Бесселя

,

.

Продифференцировав каждое из этих тождеств по , получим

, .

Умножим теперь первое соотношение на 1, а второе − на и вычтем одно из другого. Получим

.

Разделим теперь это соотношение на и перейдём к пределу при . С учётом (3.7) и линейной зависимости функций Бесселя при (3.4) получим

.

Это и доказывает, что − решение уравнения Бесселя (2.1).

Функции Вебера с целым индексом, также как и функции Бесселя первого рода, линейно зависимы

, ., (3.8)

что является следствием представления (3.7) и свойства (3.4).

Для того чтобы получить разложение в ряд функции , достаточно воспользоваться формулой (3.7) и вычислить производные по индексу , исходя из разложений (3.1) и (3.2). Найдём эти производные.

.

Тогда .

Аналогично .

При формировании предельного выражения для этой производной необходимо помнить, что при (т.е. для первых членов ряда) и значение и значение . Поэтому первые членов ряда, содержащих , будут отсутствовать ( , при ), а первые членов ряда, содержащих , принимают неопределённый вид. Раскроем эту неопределённость. Имеем

.

Тогда .

Возьмём при . Тогда с учётом последней формулы получим

.

Таким образом, для предельного выражения второй производной имеем

.

или при замене индекса суммирования во второй сумме

Подставляя найденные производные в формулу (3.7), найдем представление функции Вебера с целым индексом в виде ряда

, , , (3.9)

Если принять во внимание, что , то это представление верно и для случая . Сравнивая коэффициент при с общим членом ряда в (3.1), можно заключить, что справедливо также и следующее представление в виде ряда:

, , , (3.10)

Полученный результат показывает, что функция Вебера есть регулярная функция в плоскости с разрезом по отрицательной части вещественной оси. Далее, есть решение, линейно независимое от решения (см. 3.10).

Из представления (3.9) вытекает, что при справедливы следующие асимптотические формулы:

, , . (3.11)

Эти формулы показывают, что , когда .

Решения уравнения Бесселя и линейно независимы между собой. Для этот результат является следствием линейной независимости решений и . Линейная независимость для ( ) вытекает из (3.10) или сопоставления поведения рассматриваемых функций при (3.5) и (3.11). Таким образом, общее выражение цилиндрической функции, пригодное при любых значениях , будет

.

В рассмотрение вводят ещё две новые цилиндрические функции

, (3.12)

. (3.13)

Это − функции Бесселя третьего рода первого и второго порядка с индексом , которые называются также функциями Ханкеля первого и второго рода с индексом . Очевидно, что эти функции линейно независимы с функциями Бесселя первого рода и между собой. Они определены для , .

Асимптотическое поведение функций Ханкеля при определяется следующими формулами:

, , . (3.14)

Таким образом, ограниченной при остаётся только функция Бесселя первого рода.

Все цилиндрические функции при фиксированном есть целые функции параметра .

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: