Следование, эквивалентность и преобразование формул
Введем на множестве M отношения следования и эквивалентности.
Формула B следует из формулы A (обозначается A B), если она истинна на всех наборах высказывательных переменных, на которых истинна формула A.
Формула Aэквивалентна формуле B (обозначается Aº B), если они следуют друг из друга, то есть A B и B A. Легко показать, что это определение эквивалентно определению, введенному в п.1.
Теорема 2.1. Формула B следует из формулы A тогда и только тогда, когда тождественно истинна формула A B.
Теорема 2.2. Формула A эквивалентна формуле B тогда и только тогда, когда тождественно истинна формула A~B.
Эквивалентность формул является отношением эквивалентности, поэтому множество M можно разбить на классы эквивалентности, включив в один класс эквивалентные между собой формулы. Каждой формуле U соответствует класс эквивалентности, который обозначается [U].
Теорема 2.3. Если A есть некоторая подформула формулы U и A эквивалентна формуле B, то формула, полученная заменой A в формуле Uна B, эквивалентна U. Иными словами, если A º B, то U(A) º U(B).
Например, так как A®B º , то (A®B)ÙC º ( )ÙC.
Следствие. Если U~A и V~B, то:
1)U V º A B;
2)U V º A B;
3) U V º A B;
4) (U~V) º (A~B);
5) U º A.
Теорема 2.3 и ее следствие позволяют преобразовывать формулы, упрощая их, и доказывать эквивалентность формул. Приведем список основных тавтологий, выражающих свойства логических операций.
1. Коммутативность:
X ÙY º Y ÙX, X ÚY º YÚX.
2. Ассоциативность:
(X ÙY)ÙZ º X Ù(YÙZ), (XÚY)ÚZ º XÚ(YÚZ).
3. Идемпотентность:
XÙX º X, XÚX º X.
4. Законы поглощения:
XÚ(X Y) º X, X (XÚY) º X.
5. Взаимная дистрибутивность конъюнкции и дизъюнкции:
X Ù(YÚZ) º (X ÙY)Ú(X ÙZ), XÚ (YÙZ) º (XÚY)Ù(XÚZ).
6. Свойства констант:
XÙ0 º Л, XÙ1 º X,
XÚ0 º X, XÚ1 º 1.
7. Законы де Моргана:
, .
8. Инволютивность:
.
9. Закон противоречия:
º 0.
10. Закон исключенного третьего:
º 1.
Тождественная истинность всех формул (кроме законов поглощения) уже доказана непосредственно построением таблиц истинности.
Задание. Доказать 1-й из законов поглощения.
Решение.
.
Приведем еще несколько эквивалентностей, имеющих широкое применение.
11. .
12. .
13. Склеивание:
, .
Формула называется приведенной, если она содержит операции конъюнкции, дизъюнкции и операцию отрицания, относящуюся к высказывательным переменным.
Теорема 2.4. Каждый класс эквивалентности [U] может быть представлен приведенной формулой, т.е. для любой формулы U M существует приведенная формула V.
Приведенная формула для данного класса эквивалентности не является единственной. Определим порядок построения приведенной формулы.
1. Удаляются операции импликация и эквиваленция по формулам 11, 12.
2. Операции отрицания спускаются до высказывательных переменных с помощью законов де Моргана и двойного отрицания.
3. Если это возможно, то полученная приведенная формула упрощается с помощью свойств 3, 4, 5, 6, 9, 10.
Таким образом, проверить эквивалентность формул, тождественную истинность и ложность формулы или упростить ее можно с помощью этого алгоритма.
Задание. Упростить формулу .
Решение. ( ) º
º ( ) º ( ) º A.
Формула U*называется двойственной к приведенной формуле U, если она получена заменой операций конъюнкции на дизъюнкции и наоборот.
Теорема 3.5(принцип двойственности). Пусть U( ) – приведенная формула, тогда
U*( ) = U( ).
Доказательство.Обозначим k – число логических операций в формуле U.Проведем доказательство индукцией по k.
10. k = 0. В этом случае U = Xi , следовательно, Ud = Xi º º ØU( ).
2 0. Предположим, что теорема верна при k £ m.
3 0. Покажем, что она верна при k = m + 1.
Пусть U1 и U2 – подформулы U. Каждая из них образована посредством не более, чем m операций, и следовательно, для них теорема верна.
Возможны следующие случаи
а) U=Ø U1;
б) U= U1ÙU2;
в) U= U1ÚU2.
Случай а) эквивалентен условию 10 и при нем теорема верна. В случаях б) и в) заменим в каждой из Ui конъюнкцию на дизъюнкцию и наоборот. По определению двойственности будем иметь, соответственно, б): Ud= U ÚU и в): Ud= U ÙU .
В силу законов де Моргана и предположения индукции будем иметь в случае б):
Ud = U ÚU = (ØU1( )) Ú (ØU2( )) º
º Ø (U1( ) Ù U2( )) = Ø U( ).
В случае в) выкладки аналогичны. Теорема доказана.
Следствие. Если U – ТИ-формула, то Ud – ТЛ-формула.
Теорема 2.6. Если U º V, то Ud º Vd.
Доказательство.Если U º V, то (ØU) º(ØV). Значит, в силу теоремы 2.5, Ud(Х1, …, Хn) = ØU( ) и Vd(Х1, …, Хn) = ØV( ).
Отсюда: Ud = (ØU( )) º (ØV( )) = ØVd. В силу транзитивности эквиваленции, получим Ud º Vd , что и требовалось доказать.
Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту:
©2015 - 2024 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.
|