Сделай Сам Свою Работу на 5

Определители 2-го порядка, системы 2-х линейных уравнений с двумя неизвестными.





Определение. Число , составленное из элементов квадратной матрицы , называется определением второго порядка.

Определитель второго порядка обозначают иногда как или :

.

Например: .

Рассмотрим систему линейных уравнений и )составим:

- главный определитель системы,

и ‑ вспомогательные определители системы.

Вспомогательные определители системы получаются из главного определителя заменой столбца коэффициентов при неизвестном (в ∆1) и столбца коэффициентов при неизвестном (в ∆2) столбцом свободных членов. Решение системы находим по правилу Крамера: , (при условии ).

 

Определители 3-го порядка, системы 3-х уравнений с тремя неизвестными.

Рассмотрим матрицу из девяти элементов (три строки и три столбца):

Первый индекс элемента обозначает номер строки, второй ‑ номер столбца.

Определение.Определением третьего порядка называется число, обозначаемое символом

Для запоминания формулы служит геометрическое правило Саррюса. Складываем произведение элементов, расположенных на главной диагонали и на двух треугольниках, с основаниями параллельными главной диагонали и с вершиной на крайнем элементе побочной диагонали:



, , .

Вычитаем произведение элементов, расположенных на побочной диагонали и на двух треугольниках, с основаниями параллельными побочной диагонали и с вершиной на крайнем элементе главной диагонали:

, , .

Правило Саррюса часто называют так же правилом треугольников и схематично изображают с помощью диаграмм:

 

Как и выше, используя определители 3-го порядка, можно по правилу Крамера найти решение системы линейных уравнений

( ).

Здесь ‑ соответственно главный определитель и три вспомогательных определителя

, , , .

Вспомогательные определители получаются из главного заменой соответственно первого, второго и третьего столбца на столбец правых частей.

Скалярное произведение двух векторов.

Определение. Скалярным произведением двух векторов и называется число, равное произведению длин векторов на косинус угла меду ними и обозначаемое

или .

Если векторы и перпендикулярны, то их скалярное произведение . Обратно, если скалярное произведение векторов , то векторы и перпендикулярны.



Зная декартовы координаты векторов и

,

можно найти их длины

, ,

скалярное произведение

,

и косинус угла между ними

.

Перечислим основные свойства векторного произведения:

1) , (из следует и обратно);

2) (переместительный закон);

3) (распределительный закон);

4) .

Векторное произведение двух векторов.

Определение.Векторным произведением вектора и называется вектор , обладающий следующими свойствами

1) , ;

2) ;

3) векторы , и образуют правую тройку, то есть вектор направлен так, как направлен винт при вращении его против часовой стрелки по кратчайшему расстоянию от первого перемножаемого вектора ко второму.

Векторное произведение означаются или . Из определения следует

1) (антиперестановочный закон);

2) ;

3) (распределительный закон);

4) .

Укажем геометрический смысл векторного произведения. Если и площади соответственно параллелограмма и треугольника, построенных на векторах и , то

и .

Смешанное произведение трех векторов.

Определение.Произведение называется смешанным произведением трех векторов , и и обозначается или .

Если известны декартовы координаты векторов , , , то

.

Перечислим свойства смешанного произведения:

1) ;

2) ;

3) (если поменять местами два любых вектора, то знак смешенного произведения изменится на противоположный, если поменять местами три вектора, то знак не меняется).

Можно доказать, что модуль смешанного произведения численно равен объему параллелепипеда, или одной второй объема призмы, или одной шестой объема пирамиды, построенных на векторах , и , как на сторонах, т.е.



, , .

Аналитическая геометрия

Прямая в пространстве.

Каноническим уравнением прямой, проходящей через точку параллельно вектору , называется уравнение вида:

.

Вектор называется направляющим . Если даны две прямые с направляющими векторами и , то косинус угла между этими прямыми определяется по формуле (этот угол всегда острый или прямой)

.

 








Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту:



©2015 - 2024 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.