Сделай Сам Свою Работу на 5

Первый замечательный предел. Второй замечательный предел.





Понятие замечательных пределов используется на просторах бывшего Советского Союза для обозначения хорошо известных математических тождеств со взятием предела. Замечательны они потому, что они уже доказаны великими математиками и нам остается лишь пользоваться ими для удобства нахождения пределов. Из них наиболее известны первый и второй замечательные пределы.

Первый замечательный предел имеет вид .

Вместо переменной х могут присутствовать различные функции, главное, чтобы они стремились к 0.

Пример.

Необходимо вычислить предел

Как видно, данный предел очень похож на первый замечательный, но это не совсем так. Вообще, если Вы замечаете в пределе sin, то надо сразу задуматься о том, возможно ли применение первого замечательного предела.

Согласно нашему правилу №1 подставим вместо х ноль:

Получаем неопределенность .

Теперь попробуем самостоятельно организовать первый замечательный предел. Для этого проведем нехитрую комбинацию:

Таким образом мы организовываем числитель и знаменатель так, чтобы выделить 7х. Вот уже и проявился знакомый замечательный предел. Желательно при решении выделять его:



Подставим решение первого замечательного примера и получаем:

Упрощаем дробь:

Ответ: 7/3.

Второй замечательный предел имеет вид , где e = 2,718281828… – это иррациональное число.

Вместо переменной х могут присутствовать различные функции, главное, чтобы они стремились к .

Пример.

Необходимо вычислить предел

Здесь мы видим наличие степени под знаком предела, значит возможно применение второго замечательного предела.

Как всегда воспользуемся правилом №1 – подставим вместо х:

Видно, что при х основание степени , а показатель – 4x > , т.е. получаем неопределенность вида :

Воспользуемся вторым замечательным пределом для раскрытия нашей неопределенности, но сначала надо его организовать. Как видно – надо добиться присутствия в показателе, для чего возведем основание в степень 3х, и одновременно в степень 1/3x, чтобы выражение не менялось:

Не забываем выделять наш замечательный предел:

Дальше знак предела перемещаем в показатель:

Ответ: .

Непрерывность функции в точке. Классификация точек разрыва.



Функция у = f (х) называется непрерывной в точке х0, если в этой точке бесконечно малому приращению аргумента х-х0= х соответствует бесконечно малое приращение функции у—у0 = у, т. е. если

lim y = lim [ f (х0 + х) – f (х0)] = 0.

Этому определению равносильно следующее:

Функция f (х) называется непрерывнойв точке х0, если при х—> х0 предел функции существует и равен ее частному значе­нию в этой точке, т. е. если limf(х) = f (x0).

x->х0

Для непрерывности функции f(х) в точке х0 необходимо и достаточно выполнение следующих условий:

1) функция должна быть определена в некотором интервале, содержащем точку х0.(т. е. в самой точке х0 и вблизи этой точки);

2) функция должна иметь одинаковые односторонние пределы

lim f (х) = lim f (x);

x->х0 -0 x->х0 +0

3) эти односторонние пределы должны быть равны f (x0).

Точка , в которой нарушено хотя бы одно из трех условий непрерывности функции называется точкой разрыва функции.

Пример

Функция не определена в точке , а значит, эта точка является точкой разрыва указанной функции.

Точка разрыва первого рода

Если в точке существуют конечные пределы и , такие, что , то точка называется точкой разрыва первого рода.

Пример

Функция в точке имеет разрыв первого рода, так как

, а

Точка разрыва второго рода

Если хотя б один из пределов или не существует или равен бесконечности, то точка называется точкой разрыва второго рода.

Пример

Для функции точка - точка разрыва второго рода, так как .

 

 

Определение производной. Таблица производных. Геометрический, физический и химический смысл производной. Уравнение касательной и нормали.



Производной функции в точке называется предел отношения приращения функции к приращению переменной, то есть

Таблица производных основных математических функций:


Геометрический смысл производной

Производная функции y = f(x) в точке x = x0 равна тангенсу угла наклона касательной к графику этой функции в данной точке.

Используя этот факт, запишем уравнение касательной в точке x=x0 : y — f(x0) = f`(x0)(x — x0)

 








Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту:



©2015 - 2024 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.