Сделай Сам Свою Работу на 5

Условия перпендикулярности двух плоскостей:





Пусть P1:A1x+B1y+C1z+D1=0, 1=(A1,B1,C1);

P2:A2x+B2y+C2z+D2=0, 2=(A2,B2,C2).

P1⊥P2⇔ 1⊥ 2⇔ A1⋅A2+B1⋅B2+C1⋅C2=0.

Угол между плоскостями:

Пусть заданы две плоскости Q1 и Q2:

Под углом между плоскостями Q1 и Q2 понимается один из двугран­ных углов, образованных этими плоскостями.

Угол j между нормальными векторами 1 = (A1, В1, С1) и 2 = (A2, В2, С2) плоскостей Q1 и Q2 равен одному из этих углов:

 

 

Уравнение прямой в пространстве: общие, канонические, параметрические.

Каноническое и параметрическое уравнение прямой.

Пусть задана точка , лежащая на прямой , и задано ее направление при помощи вектора . Необходимо построить уравнение этой прямой. Воспользуемся рисунком. Обозначим произвольную точку пространства .
Тогда прямая – это геометрическое место таких точек , что векторы и коллинеарны. Это значит: , или: = .

Последнее равносильно уравнениям:

канонические уравнения прямой в пространстве. (1)

Записи (1) уравнений прямой можно поставить в соответствие систему уравнений с общей переменной :

параметрическая форма уравнений прямой. (2)

Замечания:

1)Равенство при значении =0 не имеет смысла, хотя геометрически ситуация вполне определена: точка совпадает с точкой .



2) Равенства (1) при =0 показывают, что ,
но для векторов и не является содержательным.

3) Равенства (2) в механической интерпретации можно рассматривать как прямолинейное движение точки с постоянной скоростью из начального положения .
При =0 имеем начальное положение точки: = , что в механике вполне ожидаемо!

Через каждую прямую в пространстве проходит бесчисленное множество плоскостей. Любые две из них, пересекаясь, определяют ее в пространстве. Следовательно, уравнения любых двух таких плоскостей, рассматриваемые совместно представляют собой уравнения этой прямой.

Вообще любые две не параллельные плоскости, заданные общими уравнениями

определяют прямую их пересечения. Эти уравнения называются общими уравнениями прямой.

Взаимное расположение прямых, угол между прямыми в пространстве. Угол между прямой и плоскостью в пространстве.

Возможные случаи взаимного расположения двух прямых в пространстве представлены в таблице.



Фигура Рисунок Определение
Две пересекаю-щиеся прямые Две прямые называют пересекающимися прямыми, если они имеют единственную общую точку.
Две параллельные прямые Две прямые называют параллельными прямыми, если они лежат в одной плоскости и не имеют общих точек
Две скрещиваю- щиеся прямые Две прямые называют скрещивающимися прямыми, если не существует плоскости, содержащей обе прямые.

Углом между прямыми в пространстве будем называть любой из смежных углов, образованных двумя прямыми, проведёнными через произвольную точку параллельно данным.

Пусть в пространстве заданы две прямые:

Очевидно, что за угол φ между прямыми можно принять угол между их направляющими векторами и . Так как , то по формуле для косинуса угла между векторами получим

.

Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых равносильны условиям параллельности и перпендикулярности их направляющих векторов и :

Две прямые параллельнытогда и только тогда, когда их соответствующие коэффициенты пропорциональны, т.е. l1 параллельна l2 тогда и только тогда, когда параллелен .

Две прямые перпендикулярны тогда и только тогда, когда сумма произведений соответствующих коэффициентов равна нулю: .

Углом между прямой и плоскостью будем называть угол, образованный прямой и её проекцией на плоскость. Пусть прямая и плоскость заданы уравнениями:

Рассмотрим векторы и . Если угол между ними острый, то он будет , где φ – угол между прямой и плоскостью. Тогда .

Если угол между векторами и тупой, то он равен . Следовательно . Поэтому в любом случае . Вспомнив формулу вычисления косинуса угла между векторами, получим .



Условие перпендикулярности прямой и плоскости. Прямая и плоскость перпендикулярны тогда и только тогда, когда направляющий вектор прямой и нормальный вектор плоскости коллинеарны, т.е. .

Условие параллельности прямой и плоскости. Прямая и плоскость параллельны тогда и только тогда, когда векторы и перпендикулярны.

 

 








Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту:



©2015 - 2024 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.