Обратная матрица. Определение. Формула для вычисления.

Определители 2-го и 3-го порядка и их свойства.

Определителем называется число, записанное в виде квадратной таблицы:

Таблица ограничивается слева и справа вертикальными линиями, -называется элементами определителя ( -номер строки, -номер столбца).

Главная диагональ определителя содержит элементы , противоположная диагональ называется побочной.

Порядком определителя называется число строк (столбцов) квадратной таблицы.

Определитель II порядка вычисляется по формуле:

Определитель III порядка можно вычислить по правилу Сарруса:

Основные свойства определителей:

1. Значение определителя не изменится, если:

- строки заменить на столбцы, такое действие называется транспонирование, т.е. действия, выполняемые со строками, справедливы и для столбцов;

- все элементы одной строки умножить на какое-либо число и прибавить к соответствующим элементам другой строки.

Такие действия с элементами определителя называются элементарными преобразованиями.

2. Определитель меняет знак на противоположный, если две каких-либо строки поменять местами.

3. Определитель равен нулю, если:

- все элементы какой-либо строки равны нулю;

- соответствующие элементы каких-либо двух строк равны;

- соответствующие элементы каких-либо двух строк пропорциональны.

Матрицы. Действия над матрицами и их свойства.

Матрицей – называется таблица чисел содержащая определенное количество строк и столбцов

Элементами матрицы являются числа вида a_ij , где i- номер строки j- номер столбца.

Пример 1 i = 2 j = 3

Обозначение: А=

Виды матриц:

1. Если число строк не равно числу столбцов , то матрица называется прямоугольной:

2. Если число строк равно числу столбцов , то матрица называется квадратной:

Число строк или столбцов квадратной матрицы называется ее порядком. В примере n = 2

Рассмотрим квадратную матрицу порядка n:

Диагональ, содержащая элементы a₁₁, a₂₂ ……., a_nn, называется главной, а диагональ, содержащая элементы а₁₂, а_2n-1, …….a_n1 – вспомогательная.

Матрица, у которой отличны от нуля только элементы, находящиеся на главной диагонали, называется диагональной:

n = 3

3. Если у диагональной матрицы элементы равны 1, то матрица называется единичной и обозначается буквой Е:

n = 3

4. Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой матрицей и обозначается буквой О:

5. Треугольной матрицей n-ого порядка называется квадратная матрица, все элементы которой, расположенные ниже главной диагонали, равны нулю:

n = 3

Действия над матрицами:

Суммой матрицы А и В называется такая матрица С, элементы которой равны сумме соответствующих элементов матриц А и В.

Складывать можно только матрицы, имеющие одинаковые число строк и столбцов.

Произведением матрицы А на число k называется такая матрица kA, каждый элемент которой равен ka_ij

Умножение матрицы на число сводится к умножению на это число всех элементов матрицы.

Произведение матриц. Чтобы умножить матрицу на матрицу, необходимо выбрать первую строку первой матрицы и умножить на соответствующие элементы первого столбца второй матрицы, результат сложить. Этот результат расположить в результатирующей матрице в 1-ой строке и 10-ом столбце. Аналогично выполняем действия со всеми остальными элементами: 1-ую строку на второй столбец, на 3-ий и т.д., затем со следующими строками.

Умножение матрицы А на матрицу В возможно только в том случае, если число столбцов первой матрицы равно числу строе второй матрицы.

- произведение существует;

- произведение не существует

последнюю строчку во II матрице умножать не с чем, т.е. произведение не существует.

Транспонирование матрицы называется операция замены элементов строки на элементы столбца:

Возведением в степень называется последовательное перемножение матрицы саму на себя:

Возводить в степень можно только квадратные матрицы.

Свойство матрицы

1. Переместительный закон относительно сложения:

А+В = В+А – выполняется

2. Распределительный закон - выполняется:

3. Переместительный закон относительно умножения - не выполняется:

произведение не существует

Обратная матрица. Определение. Формула для вычисления.

Обратная матрица A⁻¹ — матрица, произведение которой на исходную матрицу A равно единичной матрице E:

A·A^-1 = A^-1·A = E

Обратная матрица существует только для квадратных матриц определитель которых не равен нулю.

Свойства обратной матрицы:

det(A^-1) = det(A)

(A·B)^-1 = A^-1·B^-1

(A^-1)^T = (A^T)^-1

(kA)^-1 =

(A^-1)^-1 = A

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: