Методические указания к выполнению контрольной работы

12 3

МАТЕМАТИКА

Методические указания к изучению дисциплины

и выполнению контрольной работы №2

для студентов I курса заочной формы обучения

Составители

доктор физ.-мат. наук, профессор М.М. Галилеев

канд. технических наук, доцент В.Н. Ассаул

старший преподаватель П.С. Беломутская

старший преподаватель Н.В. Кошкина

Рецензент

кандидат физ.-мат. наук, доцент А.М.Балонишников

Подготовлено на кафедре высшей математики

Содержание

1. Общие положения 4

2. Методические указания к изучению дисциплины 5

3. Методические указания к выполнению контрольной работы 6

4. КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №2
Указания к заданию 1. ТЕМА 1. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ 7

Контрольные задания 17

Указания к заданию 2. ТЕМА 2. ОСНОВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ 19

Контрольные задания 24

Указания к заданию 3. ТЕМА 3. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКА 26

Контрольные задания 33

Указания к заданию 4. ТЕМА 4. ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ 34

Контрольные задания 36

Указания к заданию 5. ТЕМА 5. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ 38

Контрольные задания 49

Указания к заданию 6. ТЕМА 6. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ 51

Контрольные задания 58

5. Требования к выполнению контрольной работы 61

6. Список литературы 62

Приложение 1 63

Приложение 2 66

Общие положения

Цель курса - дать необходимый математический аппарат и привить навыки его использования при решении инженерно-экономических задач. Для этого при изучении курса студенты осваивают методы математического моделирования экономических ситуаций, математические методы их исследования и решения, методы анализа полученных результатов. Это способствует также развитию логического и алгоритмического мышления.

Значительная часть материала выносится на самостоятельную проработку, что служит развитию навыков самостоятельного изучения литературы по математике и ее приложениям.

Математика как учебная дисциплина в системе обучения инженеров-экономистов опирается на школьный курс математики, используя все его разделы.

Изученные в курсе математики методы и алгоритмы используются во всех параллельных и следующих за ним курсах дисциплин. Формой контроля является экзамен.

2. Методические указания к изучению дисциплины

Рекомендуется изучение методического пособия в порядке изложения материала. Возможно изучение отдельной темы. В качестве дополнительной литературы рекомендуется использовать издания, указанные в списке литературы.

В методических указаниях приведены краткие теоретические сведения по каждому типу задач с подробными пояснениями к их решению. Методические указания могут быть использованы студентами заочной формы обучения при выполнении контрольных работ, а также при подготовке к экзамену.

Контрольная работа №2 включает задания по следующим темам:

1. Предел функции (2 задания);

2. Основы дифференциального исчисления (2 задания);

3. Исследование функции и построение графика (1 задание);

4. Функции двух переменных (1 задание);

5. Неопределенный интеграл (3 задания);

6. Определенный интеграл (3 задания).

Целостное представление о содержании курса дает Приложение 1. Содержание дисциплины (извлечение из рабочей программы дисциплины), где показаны принципы и логика построения дисциплины.

Необходимость выпуска настоящего пособия вызвана особенностями заочной формы обучения.

Методические указания к выполнению контрольной работы

Выполнение контрольных работ служит решению задачи получения студентами необходимых практических навыков по решению заданий из курса математики. Выполнение контрольных работ нацелено на получение студентами необходимых практических навыков решения задач из курса математического анализа. Прежде чем приступить к их выполнению, необходимо внимательно изучить соответствующие разделы Методических указаний, попробовав самостоятельно решить разобранные примеры.

В случае возникновения затруднений, а также при необходимости более глубокого изучения вопроса, следует обратиться к рекомендованной учебно-методической литературе.

Процесс работы над контрольной работой является важным этапом подготовки к зачету.

Номер выполняемой работы определяется путем деления шифра (номера зачетной книжки) на 20 и равен остатку, получающемуся при делении. Например, для зачетной книжки №1972 это вариант №12.

4. КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №2

Указания к заданию 1.
ТЕМА 1. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ

Областью определения функции называют те значения , для которых данное выражение имеет смысл и значения конечны.

Пусть функция определена в некоторой окрестности точки . Если для любого > 0 найдется такое число > 0, что при всех , удовлетворяющих неравенству , будет выполнено неравенство

, то число называют пределом функции в точке , то есть A= .

Число называется левосторонним пределом функции в точке , если для любого > 0 найдется такое число > 0, что при всех , удовлетворяющих неравенству , будет выполнено неравенство

. Левосторонний предел обозначают следующим образом: = .

Аналогично, число называется правосторонним пределом функции в точке , если для любого > 0 существует > 0, такое, что из неравенства следует и = .

Например, для функции в точке имеет смысл говорить только о левостороннем пределе, а для функции в точке ─ только о правостороннем.

Можно доказать, что для существования предела функции в точке необходимо и достаточно, чтобы существовали и были равны левосторонний и правосторонний пределы в этой точке.

Если для любого существует > 0, такое, что при всех из ─ окрестности будет выполнено условие , то предел функции в точке равен бесконечности: .

Если же для любого существует , такое, что при всех , то является пределом функции при , стремящемся к бесконечности: .

Важным частным случаем последнего определения является предел числовой последовательности. Если функция задана на множестве натуральных чисел, то такую функцию называют числовой последовательностью ( = ), а ее предел ─ пределом последовательности Таким образом, число является пределом последовательности, если для любого существует , такое, что при выполняется неравенство .

Отметим следующие свойства пределов:

1. Если существует, то он единственный.

2. ( постоянное число);

5. ( ).

Дадим несколько определений, важных для дальнейшего.

Функция называется бесконечно малой в окрестности точки , если . Функция называется бесконечно большой в окрестности точки , если . Функция называется ограниченной в окрестности точки , если существует число , такое, что при всех из этой окрестности.

Для вычисления пределов важны следующие свойства бесконечно малых величин. Пусть и ─ бесконечно малые, а ─ ограниченная функция в окрестности точки . Тогда верны утверждения:

1. ─ бесконечно малая величина в окрестности точки ;

2. ─ бесконечно малая величина в окрестности точки ;

3. ─ бесконечно малая величина в окрестности точки ;

4. Если существует , то это равносильно тому, что в окрестности точки , где ─ бесконечно малая величина в окрестности этой точки;

5. Для монотонно возрастающей функции ( при ) или монотонно убывающей ( при ) в окрестности точки всегда существует , который конечен, если ограничена в окрестности точки .

Рассмотрим две бесконечно малые величины и в окрестности точки . Если , то говорят, что ─ величина более высокого порядка малости, чем . Записывают это следующим образом: . Если , то и называют эквивалентными бесконечно малыми величинами в окрестности точки , то есть ~ .

Рассмотрим несколько примеров.

Пример1. Вычислить предел .

Решение.Очевидно, что числитель дроби при стремится к . Аналогично знаменатель стремится к . Тогда вся дробь будет стремиться к . Таким образом, .

Здесь мы использовали свойства пределов, о которых говорилось выше.

Пример2. Вычислить предел .

Решение. Очевидно, , а при . Таким образом, дробь будет стремиться к бесконечности, так как знаменатель ─ бесконечно малая величина, а обратная ей величина ─ бесконечно большая.

Поскольку числитель в окрестности точки ограничен, получаем: .

Пример3. Вычислить предел .

Решение. Если подставить в рассматриваемую функцию, получим ноль в числителе и знаменателе. Без дополнительных преобразований трудно сказать, к чему будет стремиться подобное выражение. Поэтому такие выражения называют неопределенностью вида . Встречаются также неопределенности вида , , , , для каждой из которых существуют свои способы вычисления пределов, то есть раскрытия неопределенности.

Вернемся к примеру. Разложим числитель на множители:

Рассмотрим , где и ─ многочлены степени и :

Пусть Разделим числитель и знаменатель почленно на

Нетрудно видеть, что при все слагаемые числителя, кроме последнего, стремятся к нулю, а в знаменателе все слагаемые стремятся к нулю. Таким образом, по аналогии с примером 2.

Если , то , а дробь в знаменателе имеет уже степень числителя большую, чем степень знаменателя и, согласно только что рассмотренному случаю, стремится к бесконечности. Тогда имеем:

так как величина, обратная бесконечно большой, есть бесконечно малая величина.

Рассмотрим теперь случай Поделив числитель и знаменатель почленно на , получим:

Таким образом,

Рассмотрим два предела: и .

С помощью несложных оценок можно показать, что Вычисление второго предела требует бóльших усилий, но можно доказать, что он равен числу (основанию натурального логарифма): . Доказательства можно найти в учебниках по математическому анализу.

В силу важности этих пределов их называют замечательными пределами. Используя замечательные пределы, можно получить следующие результаты:

; ; ;

; .

Поэтому можно утверждать, что при ~ , ~ , ~ , ~ , ~ , где знак ~ означает эквивалентность соответствующих бесконечно малых величин. При вычислении пределов можно использовать эти соотношения эквивалентности, заменяя, например, отношения бесконечно малых на отношения эквивалентных им бесконечно малых величин.

Пример 4. Вычислить предел:

Решение.

Очевидно, что все подкоренные выражения при стремятся к единице, а вторые слагаемые в скобках ─ к нулю. Поэтому последний предел равен следующему:

Пример 5. Вычислить предел .

Решение. Подставив в заданную функцию , убеждаемся, что имеем дело с неопределенностью вида . Известно, что если ─ корень многочлена , то , где ─ многочлен степени .

Следовательно, . Проще всего узнать вид многочлена , разделив на . Это можно сделать, выполнив деление «столбиком», как делят числа:

Следовательно, . Тогда, разлагая на множители разность кубов в знаменателе, получим:

Пример 6. Вычислить предел .

Решение. Это неопределенность вида . Домножим функцию, стоящую под знаком предела, на сопряженную сумму :

Пример7. Вычислить предел .

Решение. В данном случае имеем дело с неопределенностью вида . Преобразуем выражение в скобках, выделив единицу и бесконечно малую функцию:

Тогда

Так как при ─ бесконечно малая величина,

то

Поскольку , получаем:

Пример 8. Найти предел

Решение. При рассматриваемая функция имеет неопределенность вида . Введем новую переменную . Когда переменная , переменная . Тогда рассматриваемый предел принимает вид:

так как ~ , а .

Пример 9. Найти предел

Решение. Неопределенность вида . При ~ . Поэтому ~ .

Далее, ~ .

Поэтому

Пример10. Найти предел .

Решение. Неопределенность вида . Введем новую переменную Тогда получим:

Здесь учтено, что ~ при .

Контрольные задания

Найти следующие пределы.

1.1 а) б)

1.2. а) б)

1.3. а) б)

1.4. а) б)

1.5. а) б)

1.6. а) б)

1.7. а) б)

1.8. а) б)

1.9. а) б)

1.10. а) б)

1.11. а) б)

1.12. а) б)

1.13. а) б)

1.14. а) б)

1.15. а) б)

1.16. а) б)

1.17. а) б)

1.18. а) б)

1.19. а) б)

1.20. а) б)

Указания к заданию 2.
ТЕМА 2. ОСНОВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

Пусть на интервале задана функция . Возьмем некоторое число и придадим аргументу приращение . Тогда значение функции получит приращение . Рассмотрим отношение . Если при существует конечный предел дроби , то этот предел называют производной функции в точке и обозначают символом (или ):

Нахождение производной называют дифференцированием функции.

Функцию называют дифференцируемой в точке , если в окрестности этой точки ее приращение может быть представлено в виде:

Можно доказать, что для дифференцируемости функции необходимо и достаточно, чтобы существовала и была конечной ее производная, при этом .

Выражение называют дифференциалом функции и обозначают . Приращение аргумента называют дифференциалом независимой переменной и обозначают . Таким образом, .

Геометрически дифференциал есть приращение касательной, проведенной к графику функции в точке , и может быть как меньше, так и больше приращения функции . Для линейной функции

Если производная существует для всех из интервала , то тем самым производная определена как функция в этом интервале, и можно говорить о производной от этой функции, называемой второй производной функции : Аналогично вводится понятие высших производных (производные, начиная со второй, называются производными высшего порядка).

Для освоения техники дифференцирования, то есть нахождения производных, необходимо использовать правила дифференцирования и таблицу производных наиболее часто встречающихся функций.

Основные правила дифференцирования

1. .

2. ( – постоянная) .

4. .

5. Производная сложной функции: если , то , где производные функций в правой части равенства берутся по аргументам и соответственно.

Приведем таблицу производных наиболее часто используемых функций:

1. ( – постоянная)

4. ( – постоянная)

10.

11.

12.

13.

14.

15.

Логарифмической производной функции называется производная от логарифма этой функции: , при y > 0. Нахождение производных от многих функций значительно упрощается, если эти функции предварительно прологарифмировать, а затем воспользоваться логарифмической производной. При этом логарифмическую производную применяют формально, не учитывая, что формула имеет смысл лишь при y > 0.

Функция y(x) называется неявной, если зависимость между х и у выражена уравнением F(x,y)=0, неразрешенным относительно у.

Чтобы найти производную от неявной функции, надо данное уравнение продифференцировать, считая у функцией от х, а затем полученное уравнение решить относительно производной .