Задачи контрольной работы

12.3.1. Двое рабочих изготовили по одинаковому количеству деталей. Вероятность изготовления бракованной детали для первого рабочего равна 0,1, а для второго - 0,15. Найти вероятность того, что взятая наугад деталь окажется годной. Найти вероятность того, что годная деталь изготовлена первым рабочим.

12.3.2. Заготовлены семена трёх сортов пшеницы, причём семена первого сорта составляют 50%, второго – 30%, и третьего 20%. Вероятность того, что из зерна вырастет колос, содержащий не менее 50 зёрен, равна для первого сорта 0,8, для второго- 0,7 и для третьего 0,6. Наудачу собранный колос содержит более 50 зёрен. Какова вероятность, что он вырос из зерна второго сорта.

12.3.3. Детали на сборку плуга поступают из двух цехов: 70% из первого цеха, из второго – 30%. Среди деталей первого цеха 10% брака, среди деталей второго цеха 5% брака. Какова вероятность того, что выбранная годная деталь изготовлена во втором цехе?

12.3.4. Для посадки заготовили семена двух сортов огурцов: 40% сорта «Конкурент» и 60% сорта «Неженский». Всхожесть сорта «Конкурент» составляет 80%, сорта «Неженский» – 85%. Посаженное семя проросло. Какова вероятность того, что проросло семя сорта «Конкурент»?

12.3.5. Для посадки заготовили 70 саженцев яблони и 30 саженцев груши. Стандартные саженцы среди яблонь составляют 80%, среди груш 85%. Какова вероятность, что наудачу взятый саженец стандартный?

12.3.6. Поле вспахано тремя агрегатами, состоящими из трактора и комплекта плугов. Производительность первого агрегата больше, чем второго в 2 раза. Производительность третьего агрегата равна производительности первых двух вместе взятых. Вероятность вспашки на заданную глубину для первого агрегата составляет 0,9, для второго- 0,95 и для третьего –0,8. Был обнаружен брак в пахоте. Какова вероятность того, что он был допущен при работе первого агрегата?

12.3.7. В магазин поступают электролампы, изготовленные на двух заводах, причём первый завод поставляет 60% от общего количества электроламп. Продукция первого завода содержит 10% брака, второго – 15%. Какова вероятность того, что купленная в магазине стандартная лампа изготовлена на втором заводе?

2.3.8. На сборку трактора поступают детали от трёх станков, производительность которых относится как 1:2:3. Причём брак составляет для них соответственно 1%; 1,5%; 0,5%. Взятая наугад деталь оказалась годной. Найти вероятность того, что она изготовлена на втором станке.

12.3.9. Для посадки на опытном участке заготовили семена трёх сортов пшеницы, причём первого сорта заготовили 200г, второго 300г и третьего – 500г. Всхожесть семян составляет соответственно 90%, 85%, 80%. Найти вероятность того, что наугад взятое зерно прорастёт.

12.3.10. В каждой из двух урн содержится 6 чёрных и 4 белых шаров. Из первой урны наудачу извлечён один шар и переложен во вторую. Найти вероятность того, что шар, извлечённый из второй урны, окажется чёрным.

12.3.11. В каждой из двух урн содержится 7 белых и три чёрных шара. Из второй урны наудачу извлечён один шар и переложен в первую. Найти вероятность, что шар, извлечённый из первой урны, окажется белым.

12.3.12. Прибор может работать в двух режимах: нормальном и усиленном. В нормальном режиме он работает 80% времени, а в усиленном – 20%. Вероятность выхода прибора из строя в течение смены в нормальном режиме равна 0,1, а в усиленном – 0,7. Найти вероятность того, что прибор в течение смены не выйдет из строя.

12.3.13. Одну и ту же операцию выполняют рабочие 3-го, 4-го и 5-го разрядов, производительности которых относятся как 2:3:5. При этом рабочие 5-го разряда допускают 2% брака, 4-го – 3%, а 3-го – 5%. При проверке деталь оказалась бракованной. Какова вероятность того, что её изготовил рабочий 5-го разряда?

12.3.14. На молочный завод ежедневно поступает молоко с двух ферм: 70 фляг с первой и 30 – со второй. Вероятность того, что жирность молока не ниже 4% для продукции первой фермы равна 0,75, а для второй – 0,8. В наудачу выбранной фляге молоко содержало жира более 4%. Какова вероятность того, что фляга поступила со второй фермы?

12.3.15. В инкубатор заложили яйца двух сортов. Первого сорта – 80%, второго – 20%. Вероятность того, что из яйца первого сорта вылупится цыплёнок, равна 0,95, а для второго – 0,8. Какова вероятность того, что наудачу взятый цыплёнок вылупился из яйца второго сорта?

12.3.16. Трое рабочих изготавливают одинаковые детали: первый – 12, второй – 15, а третий 18 штук в день. Вероятность того, что деталь, изготовленная первым мастером, будет стандартной равна 0,95, вторым - 0,9, а третьим – 0,85. Наудачу взятая деталь оказалась стандартной. Какова вероятность, что она изготовлена вторым рабочим?

12.3.17. Азотные удобрения поступают на склад хозяйства из пунктов А и В, причём из пункта А в 2 раза больше, чем из пункта В. Вероятность того, что удобрения из пункта А удовлетворяют стандарту равна 0,8, а из пункта В – 0,75. Найти вероятность того, что взятое для пробы на складе хозяйства удобрение удовлетворяет стандарту.

12.3.18. Три бригады возят на сортировку картофель. Первая бригада сдала 35% картофеля, вторая – 45%, третья – 20%. Доля некондиционного картофеля из первой бригады составляет 0,04, второй – 0,06, третьей – 0,03. Найти вероятность того, что взятый наудачу клубень окажется кондиционным и убран первой бригадой.

12.3.19. Изделие проверяется на стандартность одним из двух контролёров. Первый из них проверяет 60% изделий. Вероятность того, что стандартное изделие будет признано стандартным, для первого контролёра равна 0,95, для второго – 0,98. Стандартное изделие при проверке было признано стандартным. Найти вероятность того, что это изделие проверил второй контролёр.

12.3.20. Вероятности того, что во время работы ЭВМ произойдёт сбой в оперативной памяти и остальных устройствах, относятся как 4:6. Вероятность обнаружения сбоя в оперативной памяти равна 0,8, а в остальных устройствах – 0,9. Найти вероятность того, что возникший сбой будет обнаружен.

Повторные независимые испытания

Программные вопросы

3 Повторные независимые испытания. Теорема Бернулли.

4 Теорема Пуассона.

5 Локальная теорема Лапласа.

6 Интегральная теорема Лапласа.

Решение типового примера

Пример 12.4.1.Всхожесть семян данной партии равна 90%. Найти вероятность того, что 1) из пяти посеянных семян взойдёт не менее четырёх; 2) из 100 посеянных семян взойдет 85; 3) из 200 посеянных взойдёт не менее 190. 4) Найдите наивероятнейшее число взошедших семян из 20 посеянных.

Решение. 1) Так как вероятность того, что каждое семя прорастёт р=0,9 и семян для опыта отобрано всего 5, то вероятность того, что прорастет к семян из n посеянных можно найти по формуле Бернулли: Р_n(к)=С_n^к р^кq^n-к, где q=1-р.

В нашем случае, вероятность того, что прорастёт не менее четырех семян, находим, используя формулу Бернулли: Р₅(к≥4)= Р₅(4) + Р₅(5)=С₅⁴ р⁴q^5-4+ +С₅⁵ р⁵q^5-5= (0,9)⁴ (1- 0,9) + (0,9)⁵ 0,919. Здесь использовано, что С_n^к= С_n^n-к.

2) Так как число посеянных семян достаточно велико, то здесь необходимо использовать локальную теорему Лапласа, в соответствии с которой Р_n(к)= , где , .

Таким образом, Р₁₀₀(85)= = = = 0,1647=0,0549.

Значения функции находят с учётом того, что она чётная по таблице (см. приложение 1).

3) При достаточно большом числе испытаний вероятность того, что событие появится не менее к₁ и не более к₂ раз в серии из n независимых испытаний, по интегральной теореме Лапласа: Р_n (к₁ к к₂) Ф(х₂) - Ф(х₁), где Ф(х)= . Значения функции Ф(х) находятся по таблице (см. приложение 2) с учётом того, что эта функция нечётная и при х> 4 Ф(х)=0,5.

В нашем случае Р₂₀₀ (190 к 200) Ф(4,71) - Ф(-2,35) = 0,5 +0,4906= =0,9906, так как х₁= , а х₂= .

4) Наивероятнейшее число наступлений события в условиях схемы Бернулли, когда вероятность появления события в каждом испытании одна и та же и равна р, а п – число испытаний, удовлетворяет условию:

, где .

В нашем случае, р=0,9, q=0,1, п=20, и , то есть, , но - целое число. Следовательно, =18.

Ответ: 1) 0,919; 2) 0,0549; 3) 0,9906; 4) 18.

Пример 12.4.2.Вероятность заболевания животного в стаде равна 0,002. Найдите вероятность того, что среди 1000 голов не окажется больных животных.

Решение. Поскольку вероятность заболевания животного в многочисленном стаде мала, для нахождения требуемой вероятности применим теорему Пуассона, по которой , где . В нашем случае п=1000, р=0,0002, k=0 и . Для нахождения используем таблицу (см приложение 3): 0,1353.

Ответ: 0,1353.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: