Задачи контрольной работы

12.2.1. При изготовлении некоторого изделия брак составляет 2% от общего количества. Из числа годных изделий 90% составляют изделия первого сорта. Найти вероятность того, что наудачу взятое изделие будет первого сорта.

12.2.2. В тракторной бригаде работают 3 трактора одной марки. Вероятность того, что каждый из них будет работать без вмешательства механика, равна 0,96. Найти вероятность того, что 1) все тракторы не потребует вмешательства механика; 2) хотя бы один трактор потребует внимания механика.

12.2.3. В корзине находится 10 яиц, среди которых 3 штуки испорченные. Первое разбитое яйцо оказалось некачественным. Какова вероятность того, что второе наугад разбитое яйцо будет качественным.

12.2.4. Вероятность правильного оформления счёта на предприятии составляет 0,95. Во время аудиторской проверки были взяты два счёта. Найти вероятность того, что 1) оба счёта оформлены правильно; 2) хотя бы один счёт оформлен неправильно.

12.2.5. Для сигнализации об аварии установлены 2 независимо работающих сигнализатора. Вероятность того, что при аварии сработает первый сигнализатор равна 0,95, а для второго эта вероятность равна 0,9. Найти вероятность, что при аварии сработает 1) хотя бы один сигнализатор; 2)оба сигнализатора.

12.2.6. В мастерской по ремонту сельхозинвентаря имеется три резервных электродвигателя. Для каждого из них вероятность того, что в данный момент электродвигатель включён равна 0,2. Найти вероятность того, что, что в данный момент из числа резервных 1) все двигатели включены; 2) включён хотя бы один двигатель.

12.2.7. Вероятность того, что комбайн на уборке пшеницы будет работать без поломок, равна 0,8. Вероятность безотказной работы автомашины равна 0,85. Найти вероятность того, что уборка будет произведена без остановок из-за поломок.

12.2.8. Для посадки заготовили три сорта картофеля. Первого сорта заготовили 500кг, второго – 300кг и третьего – 200 кг. Какова вероятность того, что наудачу выбранный клубень либо первого, либо второго сорта?

12.2.9. В книге 100 страниц. Какова вероятность того, что нужная формула находится на странице, номер которой будет кратным 4 или 5?

12.2.10. Партия семян, состоящая из 10 мешков, принимается, если при проверке семян из выбранных наудачу двух мешков они окажутся удовлетворяющими стандарту. Найти вероятность приёмки партии, содержащей в четырёх мешках нестандартные семена.

12.2.11. Для полива участка вода поставляется двумя насосами. Вероятность бесперебойной работы в течение смены для одного из них равна 0,9, а для другого – 0,85. Найти вероятность того, что в течение смены будут работать 1) оба насоса; 2) хотя бы один из них.

12.2.12.Вероятность установления в Саратовской области устойчивого снежного покрова до 10 ноября равна 0,2. Найти вероятность того, что два года подряд с 10 ноября в области установится устойчивый снежный покров.

12.2.13. Пахотный агрегат состоит из трактора и плуга. Вероятность безостановочной работы трактора в течение смены равна 0,9, а вероятность поломки плуга равна 0,15. Найти вероятность того, что в течение смены агрегат будет работать без остановок из-за поломок.

12.2.14. В зернохранилище поступает зерно от двух хозяйств. В течение смены от первого хозяйства поступает 12 автомашин, а от второго – 15. Какова вероятность того, что прибывшие подряд две машины принадлежат второму хозяйству?

12.2.15. В стаде из 30 животных одной породы оказалось 5 без прививки. Наудачу выбирают двух животных. Какова вероятность, что они оба привитые?

12.2.16. Установлено, что 5% яблок данной партии поражены паршой. Какова вероятность, что 2 яблока, выбранные из них наугад, здоровые?

12.2.17. При подготовке семян к посеву установлено, что повреждённые семена составляют 5%. Для целых семян всхожесть составляет 85%. Какова вероятность, что из наудачу взятого зерна вырастет растение?

12.2.18. Среди 1000 початков кукурузы, заготовленной на семена, 400 штук имеют массу менее 250 г; 300 штук – более 250 г, но менее 275г; остальные имеют массу большую 275г. Какова вероятность того, что масса наугад взятого початка окажется более 250 г?

12.2.19. На делянке в посевах пшеницы 95% здоровых растений. Выбирают два растения. Определить вероятность того, что среди них хотя бы одно окажется здоровым?

12.2.20 .В теплицу завезли три сорта удобрений: 15 пакетов аммиачной селитры, 10 пакетов мочевины и 5 пакетов кальциевой селитры. Найти вероятность того, что наудачу выбранный пакет окажется мочевиной или аммиачной селитрой.

Формула полной вероятности. Формулы Байеса.

Программные вопросы

1. Формула полной вероятности.

2. Формулы Байеса.

Решение типового примера

Пример 12.3.Заготовлены семена трёх сортов кукурузы, из которых семена первого сорта составляют 50%, второго – 30%, а третьего – 20%, а их всхожести соответственно равны 95%, 90% и 85%. Какова вероятность того, что после сбора урожая выбранный початок вырос из семени второго сорта?

Решение. Такая задача решается с использованием формул полной вероятности и Байеса. Применение их связано с введением понятия системы гипотез для рассматриваемого события А, то есть такой полной группы событий, что появление события А происходит лишь при условии появления одного и только одного из этих событий.

Введем следующие гипотезы: В₁, В₂ и В₃ – наугад взятое зерно является соответственно зерном первого, второго и третьего сортов. Из условия задачи можно заключить, что Р(В₁) =0,5, Р(В₂) =0,3, Р(В₃) =0,2.

Пусть А – событие, состоящее в том, что из выбранного наугад семени вырастет растение.

По формуле полной вероятности

Р(А)= , где - условная вероятность события А, вычисленная в предположении, что событие уже наступило (i = 1, 2, 3).

Так как по условию =0,95; =0,9; =0,85, то Р(А) = 0,5·0,95+0,3·0,9+0,2·0,85 =0,915.

Для переоценки вероятности гипотезы после того, как становится известным, что событие произошло, служат формулы Байеса:

(i =1, 2, …)

Тогда вероятность того, что початок вырос из зерна второго сорта, по формуле Байеса равна .

Ответ: Р(А) = 0,915. .

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: