|
|
ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕРЯДЫПрограммные вопросы. 1) Сходимость и сумма ряда. Необходимое условие сходимости ряда. 2) Теоремы сравнения. 3) Признаки Даламбера и Коши. 4) Интегральный признак сходимости ряда. 5) Теорема Лейбница. Оценка остатка знакочередующегося ряда. 6) Теорема о сходимости абсолютно сходящегося ряда. Свойства абсолютно сходящихся рядов. 7) Понятие равномерной сходимости. Признак Вейерштрасса. 8) Теорема о непрерывности суммы функционального ряда. 9) Теоремы о почленном интегрировании и почленном дифференцировании функционального ряда. 10)Теорема Абеля. Интервал и радиус сходимости степенного ряда. 11)Теорема о равномерной сходимости степенного ряда. Непрерывность суммы ряда. 12)Почленное интегрирование и дифференцирование степенных рядов. 13)Разложение функции в степенной ряд. Ряд Тейлора. 14)Разложение по степеням 15)Условия разложимости функции в ряд Тейлора. 16)Разложение по степеням Постановка задачи. Найти сумму ряда План решения задачи. Суммой ряда 1. По условию задачи 2. Раскладываем общий член ряда на элементарные дроби: 3. Находим n-ю частичную сумму ряда: 4. Вычисляем сумму ряда по формуле Замечание 1.Если коэффициент при Замечание 2. Если суммирование ряда начинается не с 1, а с некоторого номера m, то n-я частичная сумма ряда будет Задачи с 11.1.1 – 11.1.20.Найти сумму ряда.
Постановка задач. Исследовать сходимость ряда с неотрицательными членами План решения задач. 1. Проверяем, что 2. Поскольку Пусть даны два ряда с неотрицательными членами Если 3. Чтобы сделать вывод о сходимости (расходимости) данного ряда, необходимо установить справедливость одной из двух гипотез: 1) Исходный ряд 3.1.Проверяем первую гипотезу. Чтобы установить, что исходный ряд В качестве эталонного ряда используем одни из следующих рядов: а) сходящийся гармонический ряд б) сходящийся геометрический ряд Если существует сходящийся ряд 3.2. Проверяем вторую гипотезу. Чтобы установить, что исходный ряд В качестве эталонного ряда а) расходящийся гармонический ряд б) расходящийся геометрический ряд Если существует расходящийся ряд Замечание. Для оценки общего члена ряда используем неравенства:
Задачи 11.2.1-11.2.20. Исследовать на сходимость ряд. 11.2.1. 11.2.2. 11.2.3. 11.2.4. 11.2.5. 11.2.6. 11.2.7. 11.2.8. 11.2.9. 11.2.10.
11.2.11. 11.2.12. 11.2.13. 11.2.14. 11.2.15. 11.2.16. 11.2.17. 11.2.18. 11.2.19. 11.2.20.
Задачи 11.3.1-11.3.20. Исследовать на сходимость ряд. 11.3.1 11.3.2 11.3.3 11.3.11 11.3.12 11.4.13 11.3.4 11.3.5 11.3.6 11.3.7 11.3.8 11.3.9 11.3.10
11.3.14 11.3.15 11.3.16 11.3.17 11.3.18 11.3.19 11.3.20
Постановка задачи 4. Исследовать сходимость ряда с положительными членами План решения задачи 4. Признак Даламбера. Пусть дан ряд с положительными членами 1. Проверяем, что 2. Проверяем, что 3. Вычисляем предел 4. Применяем признак Даламбера и делаем вывод о сходимости или расходимости исследуемого ряда. Замечание.Если общий член исследуемого ряда имеет сложный вид, то в таком случае следует воспользоваться предельным признаком сравнения и применить признак Даламбера к упрощенному ряду. Задача 4. Исследовать на сходимость ряд.
Постановка задачи 5. Исследовать сходимость ряда с положительными членами План решения задачи 5. Радикальный признак Коши. Пусть дан ряд с положительными членами 1. Проверяем, что 2. Проверяем, что 4. Применяем радикальный признак Коши и делаем вывод о сходимости или расходимости исследуемого ряда. Замечание 1. Если общий член исследуемого ряда имеет сложный вид, то в таком случае следует воспользоваться предельным признаком сравнения и применить радикальный признак Коши к упрощенному ряду. Замечание 2.Полезно иметь в виду, что Задача 5. Исследовать ряд на сходимость.
Постановка задачи 6. Исследовать сходимость ряда с положительными членами
План решения задачи 6. Если Если функция 1. Проверяем, что 2. Упрощаем, если требуется, выражение для 3. Исследуем сходимость несобственного интеграла по определению
4. Применяем интегральный признак Коши к ряду Замечание.Интегральный признак Коши применяется, в частности к рядам вида Задача 6. Исследовать на сходимость ряд.
Постановка задачи 7. Исследовать сходимость знакочередующегося ряда План решения задачи 7. 1. Исследуем сходимость ряда, составленного из модулей, Если ряд из модулей сходится, то исследуемый знакочередующийся ряд сходится абсолютно. 2. Если ряд из модулей расходится, то остается еще возможность того, что исходный ряд сходится условно. Чтобы исследовать эту возможность, применяем признак Лейбница: если члены знакочередующегося ряда убывают по абсолютной величине и стремятся к нулю при В данном случае, если условия признака Лейбница выполнены, то исходный ряд сходится условно (т.к. уже выяснено, что абсолютно он не сходится). Задача 7. Исследовать на сходимость ряд.
Постановка задачи 8. Вычислить сумму знакочередующегося числового ряда План решения задачи 8. 1. Если 2. Если 3. Непосредственно вычисляем n-ю частичную сумму ряда Задача 8. Вычислить сумму ряда с точностью
Постановка задач 9-11. Найти область сходимости функционального ряда План решения задач 9-11. При каждом допустимом значении При использовании признаков Даламбера или Коши поступаем следующим образом. 1. Находим 2. Т.к. по признакам Даламбера или Коши ряд сходится при 3. Исследуем поведение ряда в граничных точках интервала сходимости. Задача 9. Найти область сходимости ряда.
Задача 10. Найти область сходимости ряда.
Задача 11. Найти область сходимости ряда.
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Основные понятия теории вероятностей Программные вопросы 1. Случайное событие. Виды событий. Полная группа событий. 2. Вероятность события. Классическое определение вероятности события. Геометрическая вероятность. 3. Относительная частота появления события. Статистическая вероятность.
Решение типовых примеров Пример 12.1.1. В корзине 10 яблок, из которых 4 зелёных и 6 красных. Наугад отбирают 5 яблок. Найти вероятность того, что среди них 1) 2 зелёных и 3 красных; 2) все яблоки красные. Решение. 1) Обозначим через А событие, состоящее в том, что из 5 отобранных яблок 2 зелёных и 3 красных. Так как исходы опыта равновозможные и их число конечно, то вероятность данного события можно найти по классической формуле: Р(А) = В нашем случае n = Получаем: Р(А)= 2) Пусть теперь А1 – событие, состоящее в том, что из пяти отобранных яблок - все красные. Вероятность события А1 также найдём по классической формуле. Как и в предыдущем случае n = Ответ: Р(А1)= Пример 12.1.2. Фабрика выпускает сумки. В среднем на 100 качественных сумок приходится восемь сумок со скрытыми дефектами. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется качественной. Решение.Пусть событие А - купленная сумка качественная. Тогда Р(А) = Ответ: Р(А)=0,92. 
Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: ©2015 - 2024 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.
|
бинома 
.
.
, где 
– целые числа.
называется предел последовательности его частичных сумм 
, т.е. 
где 
.
.Если корни знаменателя отличаются на целое число, т.е. 
, где k – натуральное число, то члены последовательности частичных сумм ряда 
легко найти, т.к. в выражении 
.
не равен единице, но равен квадрату целого числа, то все выполняется аналогично.
.
и 
– функции с известными наименьшими и наибольшими значениями, причем функция 
монотонно зависит от 
, т.к. если 
, то ряд расходится, т.к. не выполнено необходимое условие сходимости ряда.
, то можно применить первую теорему сравнения:
.Если 
, то из сходимости ряда 
следует сходимость ряда 
, то из расходимости ряда 
при 
(С– константа);
при 
(С– константа).
(С– константа);
(С – константа).
и т.п.
содержит произведения многих сомножителей (например, степени и факториалы).
то при 
ряд сходится, а при 
расходится. Если 
, то признак Даламбера ответа не дает и требуется дополнительное исследование ряда.
для всех 
.
существует и легко вычисляется.
( 
)
, причем первообразная функции 
легко вычисляется.
, причем первообразная функции 
значения 
, убывает в некотором промежутке 
, 
, то ряд 
либо оба сходятся, либо оба расходятся одновременно.
при 
и 
выбраны так, чтобы функция 
. Затем используем вторую теорему сравнения.
.
, 
11.7.8. 
11.7.18. 
.
и 
справедливо неравенство 
,т.е. остаток ряда меньше по модулю первого отброшенного члена ряда.
, то и 
. Поэтому, решая неравенство 
по одной из формул (если предел существует) 
или 
,где 
– общий член ряда.
<1 и расходится при 
11.10.7. 
1.10.17. 
, где n – число возможных исходов опыта, а m – число исходов, благоприятствующих появлению события А.
(в общем случае –это число сочетаний из п элементов по т, которое находится по формуле 
). т= 
.
.
; т= 
.
.
.