Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
Линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид
y'' + py' +qy = f(x)
Для нахождения общего решения этого уравнения нужно найти общее решение однородного уравнения, как это было показано в предыдущем параграфе, и какое-либо частное решение у* неоднородного уравнения . Их сумма будет общим решением данного неоднородного уравнения:
у = + у*.
Рассмотрим один из методов нахождения частного решения – метод неопределенных коэффициентов.
Суть метода заключается в следующем: если правая часть уравнения неоднородного уравнения имеет вид
f(x)=eαx[Pn(x)cosβx + Qm(x)sinβх] ,
где α и β – действительные числа, а Pn(x) и Qm(x) – многочлены соответственно n - йи m – й степени с действительными коэффициентами, то частное решение у* ищется в виде
y* = xl eαx[Ms(x)cosβx+Ns(x)sinβx],
где Ms(x) и Ns(x) – многочлены степени s = max(n,m) с неопределенными буквенными коэффициентами, а l – кратность, с которой α + βi входит в число корней характеристического уравнения .
Следует отметить, что в общем виде многочлены соответствующей степени, имеют вид:
- многочлен 0-ой степени - А
- многочлен 1-ой степени - Ах+В
- многочлен 2-ой степени - Ах2+Вх+С
- многочлен 3-ей степени - Ах3+Вх2+Сх+D и т.д.
А, В, С, D, … - неопределенные коэффициенты.
Для того, чтобы найти неопределенные коэффициенты, частное решение у* , его производные у*' и у*'' подставляют в левую часть неоднородного уравнения и производят соответствующие упрощения; затем в полученном тождестве приравнивают коэффициенты при подобных членах в левой и правой частях, что дает систему уравнений относительно искомых неопределенных коэффициентов, решив которую находят эти коэффициенты.
Замечание.Если правая часть неоднородного уравнения есть сумма функций вида
f(x)=f1(x)+f2(x)+ … +fn(x),
нужно предварительно найти частные решения y1*, y2*, …,yn*, соответствующие функциям f1(x, f2(x), … ,fn(x). Тогда частное решение данного уравнения запишутся в виде
y*= y1*+ y2*+, …,+ yn* .
Более общим методом решения уравнений является метод вариации произвольных постоянных.
Пусть у1 и у2 – линейно независимые частные решения однородного уравнения . Тогда общее решение неоднородного уравнения следует искать в виде
у=С1(х)у1+С2(х)у2
где функции С1(х) и С2(х) определяются из системы уравнений
Решая эту систему, получим
,
где - определитель Вронского.
Интегрируя С'1(х) и С'2(х) получаем
,
откуда, подставляя найденные функции в функцию решения , найдем общее решение линейного неоднородного уравнения .
Пример 10.12. Найти общее решение дифференциального уравнения
y"+4y'=-2xe-4х.
Решение. Общее решение неоднородного уравнения равно сумме общего решения однородного уравнения и какого-либо частного решения у* неоднородного уравнения:
у = + у*.
Найдем общее решение однородного уравнения
y"+4y'=0.
Составим характеристическое уравнение и решим его
k2 + 4k = 0, k1=0 , k2=-4.
Общее решение однородного уравнения имеет вид
= С1 +C2e-4х.
Перейдем к отысканию частного решения у* данного уравнения. Здесь правая часть неоднородного уравнения f(x)=-2xe-4x содержит произведение многочлена первой степени и показательной функции, а также коэффициент в показателе степени совпадает с одни из корней характеристического уравнения, следовательно, необходимо в частное решение добавить множитель х и частное решение будт иметь вид
y*= x(Ax+B)e-4x=(Ax2+Bx)e-4x.
Вычислим производные функции у*
y*'= 2Axe-4x-4e-4x(Ax2+Bx) = (-4Ax2+2Ax-4Bx+B)e-4x
y*" = (-8Ax+2A-4B) e-4x-4e-4x(-4Ax2+2Ax -4Bx+B)=
= (16Ax2-16Ax +16Bx+2A – 8B)e-4x.
Подставим найденные производные в неоднородное уравнение
(16Ax2-16Ax +16Bx+2A – 8B)e-4x+4(-4Ax2+2Ax-4Bx+B)e-4x=-2xe-4x
(16Ax2-16Ax +16Bx+2A – 8B+16Ax2+8Ax-16Bx+4B)e-4x=-2xe-4x.
Приведем подобные члены и сократим равенство на е-4х
-8Ax+2A -4B =-2x.
Приравняем коэффициенты левой и правой части равенства, стоящие перед х в одинаковой степени, получим систему уравнений, решив которую найдем значения неопределенных коэффициентов А и В:
Получили частное решение неоднородного уравнения
y*=
Теперь можно записать общее решение данного неоднородного уравнения
y = С1 +C2e-4х+ .
Пример 10.13. Найти общее решение дифференциального уравнения
y"+4y=3xcosx.
Решение. Общее решение неоднородного уравнения равно сумме общего решения однородного уравнения и какого-либо частного решения у* неоднородного уравнения:
у = + у*.
Найдем общее решение однородного уравнения
y"+4y=0.
Составим характеристическое уравнение и решим его
k2 + 4 = 0, k1,2=±2i (α=0, β=2)
Общее решение однородного уравнения имеет вид
= С1cos2x +C2 sin2x.
Перейдем к отысканию частного решения у* данного уравнения. Здесь правая часть неоднородного уравнения f(x)=3xcosx содержит произведение многочлена первой степени и тригонометрической функции (α =0, β =1), коэффициенты в правой части неоднородного уравнения не совпадают с корнями характеристического уравнения и частное решение будет иметь вид
y*= (Ax+B)cosx+(Cx+D)sinx,
где A,B,C,D – неопределенные коэффициенты.
Вычислим производные функции у*:
y*'=Acosx - (Ax+B)sinx + Csinx + (Cx+D)cosx=(Cx + D + A)cosx +
+(-Ax +C - B)sinx
y*" =Ccosx - (Cx + D +A)sinx – Asinx+(-Ax+C-B)cosx=(-Ax + 2C – B)cosx + +(-Cx – 2A – D)sinx
Подставим найденные производные в неоднородное уравнение, приведем подобные члены и сгруппируем члены при cosx и sinx
(3Ax + 3B + 2C)cosx + (3Cx + 3D - 2A)sinx = 3xcosx
3Axcosx + 3Cxsinx + (3B+2C)cosx + (3D-2A)sinx = 3xcosx
Приравняем коэффициенты левой и правой части равенства, стоящие перед xcosx , xsinx , cosx и sinx получим систему уравнений, решив которую найдем значения неопределенных коэффициентов A,B,C,D:
Таким образом, частное решение имеет вид
y*=xcosx+ sinx.
Окончательно получаем общее решение неоднородного дифференциального уравнения
у = С1cos2x +C2 sin2x+ xcosx+ sinx.
Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту:
©2015 - 2024 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.
|