Задачи контрольной работы

В заданиях 5.1.1 -5.1.20 продифференцировать указанные функции, пользуясь правилами и формулами дифференцирования.

5.1.1	а) , в) , д) .	б) , г) ,
5.1.2	а) , в) , д) .	б) , г) ,
5.1.3	а) , в) , д) .	б) , г) ,
5.1.4	а) , в) , д) .	б) , г) ,
5.1.5	а) , в) , д) .	б) , г) ,

5.1.6	а) , в) , д) .	б) , г) ,
5.1.7	а) , в) , д) .	б) , г) ,
5.1.8	а) , в) , д) .	б) , г) ,
5.1.9	а) , в) , д) .	б) , г) ,
5.1.10	а) , в) , д) .	б) , г) ,
5.1.11	а) , в) , д) .	б) , г) ,

5.1.12	а) , в) , д) .	б) , г) ,
5.1.13	а) , в) , д) .	б) , г) ,
5.1.14	а) , в) , д) .	б) , г) ,
5.1.15	а) , в) , д) .	б) , г) ,
5.1.16	а) , в) , д) .	б) , г) ,
5.1.17	а) , в) , д) .	б) , г) ,
5.1.18	а) , в) , д) .	б) , г) ,
5.1.19	а) , в) , д) .	б) , г) ,
5.1.20	а) , в) , д) .	б) , г) ,

ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ

Программные вопросы

1. Область определения функции.

2. Исследование функции на четность, нечетность и периодичность.

3. Нахождение участков непрерывности функции и точки разрыва с указанием вида разрыва.

4. Точки пересечения с осями координат.

5. Асимптоты графика функции.

6. Интервалы возрастания и убывания функции.

7. Экстремумы функции.

8. Интервалы выпуклости и вогнутости и точки перегиба функции.

Решение типового примера

Пример 1.1.

Исследовать заданную функцию методами дифференциального исчисления, начертить ее график.

Исследование функций и построение графиков рекомендуется проводить по следующей схеме:

1) найти область определения функции D(y) и исследовать функцию на непрерывность, найти точки разрыва функции, ее односторонние пределы в точках разрыва;

2) проверить четность (нечетность) функции;

3) найти точки экстремума функции и определить интервалы ее монотонности;

4) найти точки перегиба графика функции и определить интервалы выпуклости и вогнутости графика;

5) найти наклонные асимптоты графика функции;

6) построить график, используя результаты предыдущих исследований.

Решение.

1)Областью определения данной функции являются все действительные значения аргумента x, то есть , а это значит, что функция непрерывна на всей числовой прямой и ее график не имеет вертикальных асимптот.

2) Исследуем функцию на четность (нечетность), для чего рассмотрим :

.

Таким образом, мы видим, что . Следовательно, функция не является четной.

.

Таким образом, мы видим, что . Следовательно, функция не является нечетной. Поэтому, делаем вывод, что график функции - общего вида.

3) Исследуем функцию на экстремум и интервалы монотонности. С этой целью найдем ее производную и приравняем ее к нулю:

, , .

Решая полученное квадратное уравнение, делаем вывод о том, что функция имеет две критические точки x₁ = – 5, x₂ = – 1. Разбиваем область определения этими точками на части и по изменению знака производной в них выявляем промежутки монотонности и наличие экстремума:

x		– 5		– 1
	+		–		+
f(x)		max		min

,

.

4) Определим точки перегиба графика функции и интервалы его выпуклости и вогнутости. Для этого найдем вторую производную заданной функции и приравняем ее к нулю:

, .

Итак, функция имеет одну критическую точку . Разобьем область определения полученной точкой на части, в каждой из которых установим знак второй производной:

x		– 3
	–		+
f(x)		т. п.

Значение является абсциссой точки перегиба графика функции, а ордината этой точки .

5) Выясним наличие у графика заданной функции наклонных асимптот. Для определения параметров уравнения асимптоты воспользуемся формулами

, .

Имеем

.

Таким образом, у графика заданной функции наклонных асимптот нет.

6) Для построения графика в выбранной системе координат изобразим точки максимума , минимума , перегиба . С учетом результатов предыдущих исследований построим кривую.

Задачи контрольной работы

В примерах с 6.1.1-6.1.20 исследовать заданные функции методами дифференциального исчисления, начертить их графики.

6.1.1 .	6.1.2 .
6.1.3 .	6.1.4 .
6.1.5 .	6.1.6 .
6.1.7 .	6.1.8 .
6.1.9 .	6.1.10 .
6.1.11 .	6.1.12 .
6.1.13 .	6.1.14 .
6.1.15 .	6.1.16 .
6.1.17 .	6.1.18 .
6.1.19 .	6.1.20 .

Решение типового примера

Пример 6.2.

Исследовать заданную функцию

Исследование функций и построение графиков рекомендуется проводить по следующей схеме:

1) найти область определения функции D(y)

2) исследовать функцию на непрерывность, найти точки разрыва функции, ее односторонние пределы в точках разрыва;

3) найти точки экстремума функции и определить интервалы ее монотонности;

4) найти точки перегиба графика функции и определить интервалы выпуклости и вогнутости графика;

5) найти наклонные асимптоты графика функции;

6) построить график, используя результаты предыдущих исследований.

Решение.

1) Область определения.

2) Исследование на непрерывность и классификация точек разрыва.

Заданная функция непрерывна всюду, кроме точки х = 4. Вычислим ее односторонние пределы в этой точке:

Таким образом, точка х = 4 является для заданной функции точкой разрыва второго рода, а прямая х = 4 – вертикальной асимптотой графика.

3) Исследование на экстремум и промежутки монотонности.

х₁ = – 2, х₂ = 10.

x	(– ∞, – 2)	– 2	(– 2, 4)		(4, 10)		(10, + ∞)
	+		–	не сущ.	–		+
f(x)		max				min

4) Исследование графика на выпуклость, вогнутость, точки перегиба.

Так как , то график заданной функции точек перегиба не имеет. Остается выяснить вопрос об интервалах его выпуклости и вогнутости:

x	(– ∞, 4)		(4, + ∞)
	–	не сущ.	+
f(x)

5) Исследование графика на наличие наклонных асимптот.

Таким образом, прямая – наклонная асимптота графика.

6) Построение графика.

Очевидно, график заданной функции пересекает ось Оу в точке (0; –5) и на основе обобщения результатов всех предыдущих исследований имеет вид, представленный на рис. 2.

Рис. 2

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: