Расстояние от точки до прямой.

Расстояние d от точки до прямой (см. рис.), заданной общим уравнением может быть найдено по формуле

Пример: В треугольнике (рис.) с вершинами О(0,0), А(12,5) и В (6,8) найти уравнение сторон, высоты (В, К) биссектрисы (О, Е) угол , длину (В, К)

Решение: Используя (5), получим

или ;

Так как (В, К) (А, О), то (24,3) .

Отсюда получаем (В, К) у – 8 = или 12х + 5у – 112 = 0. Для нахождения уравнения (О ,Е) найдем координаты точки Е, используя то, что Е (конец биссектрисы) делит отрезок ВА в отношении . Так как длины |ОВ| = 10; |ОА| = 13, то и по формуле деления отрезка в данном отношении получаем .

Отсюда, опять используя уравнения прямой проходящей через две точки, получаем уравнение (О, Е) : 7х – 9у = 0. По последней формуле для угла между прямыми - θ = - имеем

Наконец длину высоты найдем используя формулу расстояния точки В до прямой (О, А) : .

Уравнения плоскости в пространстве.

Плоскость (Р), вложенную в д.с.к. пространства (рис. 14), вполне определяют лежащая на ней фиксированная точка М₀ (х₀,у₀,z₀) и любой ее так называемый нормальный вектор

, перпендикулярный (Р). Условием принадлежности текущей точки М (х,у,z) (рис. 14) этой плоскости (Р) является равенство переписанное в виде

(1, а)

или (1,б)

оно именуется как векторное уравнение плоскости. Расписав в координатной форме (1,а) и (1,б) последовательно, получим: уравнение плоскости с нормальным вектором , содержащей точку М₀ (х₀,у₀,z₀) –

А · (х-х₀) + В · (у-у₀) + С · (z-z₀) = 0

; (2)

и общее уравнение плоскости –

А · х + В · у + С · z + D = 0

: (3)

Расстояние от точки до плоскости.

Расстояние d от точки М_* (х_*,у_*,z_*) до плоскости (рисунок ниже), заданной общим уравнением

А · х + В · у + С · z + D = 0

может быть найдено по формуле

Пример:

Найти: уравнение плоскости (Р₀) (рис), содержащей точки А (1,1,1); Е(5,-1,1) и С(5,0,0); расстояние от D(6,2,2) до этой плоскости и уравнение плоскости (Р₁), которая параллельна (Р₀) и содержит точку D.

Решение: Возьмем сначала

Сжав его в два раза получим . Отсюда используя соответствующее уравнение плоскости получаем

(Р₀): (х-1)+2(у-1)+2(z-1) = 0 или х+2у+2z –5=0

(Р₁) : (х-6)+2(у-2)+2(z-2) = 0 или х+2у+2z-14=0

Теперь по формуле для расстояния от точки до плоскости расстояние D до (Р₀):

Уравнение прямой в пространстве.

Прямую (l), вложенную в д.с.к. пространства (рис. 17), как и в плоскости вполне определяют лежащая на ней точка М₀ (х₀,у₀,z₀) и ее направляющий вектор . Из равенства

и здесь определяющего условие принадлежности к этой прямой её «текущей точки» М (х,у,z) получим векторное уравнение прямой

и далее

параметрические уравнения прямой –

;

Канонические уравнения прямой

уравнение прямой, проходящей через две точки М₀ (х₀,у₀,z₀) и М₁ (х₁,у₁,z₁) –

Однако можно подойти к определению прямой в пространстве совсем по другому и задать её как пересечение любых двух пересекающихся по ней плоскостей, то есть системой

- общие уравнения прямой.

Расстояние от точки до прямой

Расстояние d от точки М_* (х_*,у_*,z_*) до прямой (l), направляющим вектором и проходящей через точку М₀ (х₀,у₀,z₀) то есть прямой, заданной одним из своих уравнений (1), (2) или (3), может быть найдено как высота построенного на векторах и параллелограмма с площадью, равной | х | (рис. 19). Значит имеет место формула

Пример: Написать уравнение прямой, проходящей через точки А (1,1,5) и В (3,2,7) и найти расстояние от точки С (1,0,15) до этой прямой.

Решение: Используя уравнение прямой проходящей через две точки, получаем

или

Последнее - уже каноническое уравнение прямой. Теперь по последней формуле находим:

Замечания о взаимном расположении.

Так как ориентацию прямых и плоскостей в пространстве вполне определяют соответствующие направляющие или нормальные векторы, то их взаимное расположение (параллельность, перпендикулярность и пр.) характеризуется с помощью этих векторов. В частности, для нахождения угла φ между плоскостями с известными нормальными векторами и можно использовать формулу

;

а для нахождения угла α между плоскостью с нормальным вектором и прямой с направляющим вектором «сгодится» формула

Пример: Будут ли плоскости 2х+3у-z+2=0 и 3х-у+9z-5=0

параллельны или перпендикулярны?

Решение: и не коллинеарные, а плоскости не параллельны

и плоскости перпендикулярны.

Кривые второго порядка.

Назовем кривой второго порядка множество точек «координированной» плоскости, координаты х и у которых удовлетворяют так называемому общему уравнению кривых второго порядка

Ах² + Вху + Су² + Dх + Еу + F = 0

Известно, что сменой системы координат - ее параллельным переносом (*) или (и) поворотом (**) когда координаты любой точки М ( (х', у') – «новые», а (х, у) – «старые») связываются формулами

; (*)

или

. (**)

это общее уравнение может быть преобразовано к одному из следующих так называемых «канонических» («образцовых») видов:

; (1) ; (2)

; (3) ; (4)

; (5) ; (6)

; (7) . (8)

Из них, очевидно, (7) определяет пару параллельных прямых; (6) - пару пересекающих прямых; (5) - точку (0,0) и (4) и (8) - «ничего» не определяют. Наконец, будем называть: эллипсом кривую, которая в некоторой д.с.к. определяется уравнением (1); гиперболой - кривую, которая в некоторой д.с.к. определяется уравнением (2) и параболой - кривую, которая в некоторой д.с.к. определяется уравнением (3). (За некоторую похожесть уравнений (8) и (4) на уравнения (7) и (1) их называют соответственно уравнениями пары мнимых параллельных прямых и уравнением мнимого эллипса). Итак, повторим ещё раз что

В первом случае а и в, (а>в) называют, соответственно, большой и малой полуосями, а число - фокусным расстоянием.

Во втором случае а и в называют соответственно действительной и мнимой полуосями, а фокусным расстоянием обзывают величину .

Точки F₁ (-с, 0) и F₂ (с, 0) в том и другом случае называют фокусами, величину - эксцентриситетом, а прямые и - директрисами соответствующих эллипсов или гиперболы.

Важнейшими характеристиками гиперболы и только гиперболы являются так называемые асимптоты. Это прямые к которым сколь угодно близко приближаются точки гиперболы при неограниченном удалении их от начала координат.

Для параболы величины р именуется фокальным (не путать с фекальным) параметром, точка - фокусом, а прямая (d): 2 · х + р = 0 - директрисой параболы. При этом считается, что эксцентриситет всех парабол равен 1. Легко заметить, что величина р выражает расстояние от фокуса F до директрисы (d). Отметим, что точка О (0,0) принадлежит канонической параболе и называется ее вершиной.

Каждая из этих трех кривых обладает так называемым общими свойством:

Отношение расстояний любой точки кривой до фокуса к расстоянию до ближайшей к этому фокусу директрисы, есть величина постоянная и равная ε.

Обозначив через r₁ и r₂ расстояния от произвольной точки эллипса или гиперболы до фокусов F₁ и F₂ сформулируем их так называемые характеристические свойства

r₁ + r₂ = 2 · а - для эллипса

r₁ - r₂ = 2 · а - для гиперболы.

Приведение к каноническому виду иллюстрируют следующие

Примеры: 1. х² + 4у² + 4х – 24у = 0

Выделяя полный квадрат «при х и у» получаем

(х+2)² + 4 · (у-3)² = 40.

Поделив на 40, одновременно - полагая, х+2 = х'; у-3 = у', то есть перенося центр системы координат в точку О (-2,3), получаем