Проекция вектора на вектор или ось

Проекцией вектора на вектор ( или ось, со направленную с ) назовем, обозначив её символом , число

=

где φ – угол между и .

Можно показать (смотри нижний рисунок), что

т.е. проекция линейной комбинации векторов равна линейной комбинации проекций этих векторов.

Произведение векторов.

Скалярное произведение.

Скалярным произведение векторов и называется число (скаляр), равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.

Обозначив скалярное произведение символами ( , ) или · по определению, имеем ( , ) = | | · | | · cosφ

Можно показать, что скалярное произведение обладает следующими свойствами:

1. ( , ) = ( , ); 2. ( + ) · = + ;

3.

Из них, частности, вытекает следующее

Правило вычисления скалярного произведения в декартовом базисе.

Для заданных в декартовом базисе {i¸ j¸ k} векторов = (х_а, у_а, z_а) и = (х_b, у_b, z_b)

Эту формулу используют, в частности, когда применяют

Основные приложения скалярного произведения

Последнее означает, что в декартовом базисе координаты вектора и соответствующие проекции - суть одно и тоже.

Пример. Для треугольника (рис.) с вершинами А (2,4,0)В (6,5,8), С (-4,6,3)

найти , где К - основание высоты.

	Решение:

Векторное произведение

1) его длина ; а значит численно равна площади параллелограмма, построенного на этих векторах как на сторонах;

2) вектор перпендикулярен к и ;

3) векторы ; и образуют так называемую поворот первого «сомножителя» против часовой стрелки до совмещения со вторым вектор сомножителем видится нам «с конца» вектора кратчайшим, то есть (смотри рисунок) меньшим 180º.

Векторное произведение обозначается символами или

и обладает свойствами:

1) = - ,

2) ,

3) .

Из этих свойств вытекает

Правило вычисления векторного произведения

Для заданных в декартовом базисе {i¸j¸k} векторов

и

их векторное произведение может быть найдено по формуле

Из определения и свойств следует и

Основные приложения векторного произведения

Если S_∆ - площадь треугольника построенного на векторах и , а φ - угол между ними то

1) ,

2) ,

3) .

Если h - высота пирамиды (параллелепипеда (призмы)), построенного (смотри следующий ниже рисунок) на векторах как на ребрах, то она может быть найдена по формуле

Смешанное произведение векторов.

Смешанным произведением трех векторов называется число, равное скалярному произведению векторного произведения первых двух векторов на третий.

Обозначив смешанное произведение символом ( ), по определению, имеем

( ) = ·

В декартовом базисе смешанное произведение векторов

, ,

вычисляется по формуле

( ) =

Геометрически модуль смешанного произведения ( ) равен объему параллелепипеда, построенного на векторах как на ребрах. Из этого, в частности, вытекает, что он же равен удвоенному объему соответствующе призмы и «ушестеренному» объему пирамиды с теми же ребрами.

Пример. В пирамиде (рис. 9), построенной на векторах , ,

Найти площадь основания, построенного на и ; высоту, опущенную из «конца» и проверить «школьную» формулу объема с помощью смешанного произведения.

Решение:

С другой стороны

.

АЗЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ.

Уравнения прямой на плоскости.

(t - «коэффициент коллинеарности»). Переписанное в виде

(1)

оно именуется как векторно – параметрическое уравнение прямой. Из него вырастает целый букет» уравнений все той же прямой. Это:

параметрические уравнения прямой -

; (2)

каноническое уравнение прямой -

; (3)

уравнение прямой с нормальным вектором , содержащей точку М₀ (х₀,у₀,z₀) -

(4)

уравнение прямой, проходящей через две точки М₀ (х₀,у₀,z₀) и М₁ (х₁,у₁,z₁) -

; (5)

уравнение прямой с угловым коэффициентом k, содержащей точку М₀ (х₀,у₀,z₀) -

; (6)

«школьное» уравнение прямой-

; (7)

Общее уравнение прямой

. (8)

Угол между прямыми.

Отсюда, если прямые перпендикулярны, то

	k1·k2 = -1

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: