Сделай Сам Свою Работу на 5

Моделирование и идентификация систем





Решение задачи управления, и не только, самым существенным образом зависит от выбора модели, которая используется для представления исследуемой системы. Одним из средств описания систем различного вида является их входо-выходная модель. При этом к числу наиболее важных задач, относящихся к исследованию таких моделей, принадлежит построение явной зависимости между входом и выходом системы.

Эта зависимость должна обеспечить адекватное приближение рассматриваемого класса систем каким-либо эффективным с точки зрения практического применения методом. Другими словами, в данном случае важную роль играет задача идентификации систем, являясь необходимым предварительным шагом в условиях, когда в той или иной степени модель объекта неизвестна.

Традиционно задачи идентификации классифицируются как структурная идентификация, непараметрическая идентификация и параметрическая идентификация. Такая классификация обусловливается используемым объемом знаний о модели, исследуемой системы. Объем знаний может варьироваться в пределах, определяемых, как отсутствием необходимой информации о структуре модели в целом, так и неопределенностью значений ряда её параметров. При выборе структуры модели необходимо помнить, что при разработке модели невозможно учесть все факторы, т.е. модель строится при соблюдении соответствующих допущений. В зависимости от принятых допущений, модель будет в той или иной степени отражать реальность изучаемого процесса.



Схема структурной идентификации в этом случае представляет собой следующую последовательность шагов.

Шаг 1. Выбор некоторой структуры модели, которая соответствует априорным знаниям и данным, основанным на принятых допущениях.

Шаг 2. Оценка структуры модели на основе некоторого критерия качества с помощью подходящих аналитических методов идентификации.

Шаг 3. Проверка оцененной модели по методу взаимной проверки. Метод взаимной проверки или обоснования модели состоит в том, что множество экспериментальных данных задачи идентификации разбивается на два подмножества: Одно из них должно быть использовано для оценки модели, а другое – для обоснования ее выбора. Другими словами, в данном методе отражается ориентация на использование полученной модели на множестве данных, отличном от того, которое использовалось собственно для пост­роения модели.



Шаг 4. В случае неприемлемости полученных результатов исследование другой структуры модели и повторение всего процесса, начиная с шага 2 до тех пор, пока не будет получена какая-либо "достаточно хорошая" или "наилучшая" модель, причем этот шаг должен быть повторен множество раз в процессе решения типичной задачи идентификации.

Для определения структуры моделей используют системы экспертной идентификации ESPION (Expert System forProcess Identification), SEXI (System Expert anIdentification), система идентификации с базой знаний, экспертная система идентификации технологических процессов, в основу построения которых положен интеллектуальный поиск подходящей структуры во множестве моделей.

Его целью является исключение проверки и сравнения всех элементов из множества моделей, как это выполнялось бы при полном переборе. Такое движение начинается с относительно простой структуры модели. Затем сложность структуры модели постепенно возрастает и одновременно минимизируется число исследуемых структур, отвечающих каждому значению сложности. При этом понятие сложности структуры модели всегда определяется спецификой конкретной рассматриваемой задачи.

Так, область применения системы ESPI0Nопределяется моделями класса ARARX (AutoRegressive models with exogeneous inputs and Autoregressive noise model) с несколькими входами и одним выходом. В этом случае под сложностью понимается сумма порядков авторегрессионного полинома, внешних полиномов, полинома шума и величины запаздывания.



Движение по множеству моделей останавливается тогда, когда определяется какой-либо существенный изгиб графика, характеризующею изменение значения критерия качества идентификации, например дисперсии ошибки прогнозирования значений выхода в зависимости от сложности структуры. При этом ось абсцисс соответствует значениям показателя сложности структуры, а ось ординат – значениям критерия качества идентификации .

Результатом выполнения такого поиска является набор потенциально хороших моделей. Следующая задача состоит в выборе одной или нескольких наилучших моделей из числа полученных. Для этого вводят понятие показателя качества каждой модели. Он представляет собой некоторый интуитивный, но методологически хорошо определенный критерий. Этот показатель вводится для того, чтобы отразить с помощью одного сжатого выражения правила сравнения и оценки моделей, наилучшие среди множества как эмпирических, так и теоретически обоснованных правил .

Применение знаний в задаче нелинейной идентификации аналитической модели. Пусть для некоторой динамической системы, в общем случае описываемой в виде

F[y(t),x(s)] = 0, (4.1)

требуется построить модель, которая аппроксимирует данное входо-выходное отображение. В выражении (4.1) y(t)представляет собой т-мерный вектор-столбец, играющий роль выходного процесса системы, x(s)– n-мерный вектор-столбец, играющий роль входного процесса системы. Модель системы (4.1) будем искать в форме следующего соотношения:

z(t) = Lt,su(s). (4.2)

В выражении (4.2) z(t)в общем случае представляет собой т-мерный вектор-столбец, играющий роль выходного процесса модели, u(s)– n-мерный вектор-столбец, играющий роль входного процесса модели, Lt,s – некоторый линейный динамический оператор, подлежащий идентификации на основе наблюдения процессов y(t x(s). Процессы z(tu(s)рассматриваются как результат действия некоторых преобразований В и С над процессами y(t x(s)соответственно, т.е.

z(t)=By(t), u(s) = Cx(s). (4..3)

При этом при решении задачи идентификации модели (4.2) преобразования В и С должны выбираться таким образом, чтобы ошибка идентификации е(t)модели (4.2)

e(t) = z(t) - Lt,su(s)

была бы приемлема.Ошибка идентификации сравнивается с заданной мерой М[e(t)],которая вычисляется при Lt,s= t,s.

В свою очередь, t,s.определяется из условия:

t,s.= arg inf М[e(t)] (4.4)

 

Решение сформулированной задачи идентификации строится на основе сочетания формальных аналитических методов определения оператора t,s.из (4.4) и эвристических методов определения преобразований В и С в (4.3), удовлетворяющих сформулированному условию, на основе использования знаний об исследуемой системе.

Укрупненная структура соответствующей данному подходу системы интеллектуальной идентификации представлена на рис. 4.6 . Она представляет собой двухуровневую иерархическую структуру. Ее верхний уровень объединяет в себе базу знаний и устройства вывода. Нижний уровень соответствует применению аналитических алгоритмов решения задачи идентификации. В устройстве вывода на основе знаний, содержащихся в базе знаний, и значения величины М[e(t)]формируются преобразования В и С из (4.3). На нижнем уровне при заданных преобразованиях В и С формальными аналитическими методами определяются оператор t,s.из (4.4) и соответствующая этим t,s., В и С величина М[e(t)].

Рис. 4.6. Укрупненная структура интеллектуальной идентификации

 

По сравнению с традиционным направлением решения задачи идентификации, которое состояло бы в непосредственном поиске самого входо-выходного отображения модели на основе наблюдения входных и выходных процессов системы, сформулированная постановка отражает следующий подход к решению задачи структурной идентификации.

Задача структурной идентификации может быть представлена с помощью оператора модели, который имел бы какой-либо простой, априори задаваемый вид, идентификация которого не требует какого-либо специального знания о структуре системы (рис. 4.7). Так, в сформулированной постановке оператор линейной части модели ищется как линейное преобразование входного процесса модели в выходной процесс модели.

Рис. 4.7. Блок-схема идентификации

 

Данный подход также отражает описанный выше принцип организации иерархических систем, характеризующийся, повышением точности при понижении интеллектуальности .

Непараметрическая идентификация. При решении непараметрических задач идентификации входо-выходного отображения моделей динамических систем существенную роль играет использование тех или иных мер зависимости случайных процессов. Наиболее известными в данной области являются корреляционные и дисперсионные методы. Однако используемые в этих случаях корреляционные и дисперсионные функции, особенно в нелинейных задачах, могут давать заниженные значения меры связи случайных процессов. При этом даже в случае детерминированной зависимости между входной и выходной переменными системы их корреляционная функция может обращаться в нуль. Более того, существуют примеры, когда даже в случае линейной регрессии выходной переменной на входную и наоборот зависимость между ними является нелинейной и адекватно характеризуется только максимальной корреляцией.

В отличие от дисперсионных и тем более, корреляционных функций, максимальная корреляционная функция изъявляется исчерпывающей характеристикой связи между случайными процессами и относится к классу состоятельных, по введенной А.Н. Колмогоровым терминологии, мер зависимости. Сильная состоятельность некоторой меры зависимости µ(х, у)случайных величин хи уозначает, что µ(х, у)=0 тогда и только тогда, когда хи у стохастически независимы, а в случае детерминированной функциональной связи между хи уµ(х, у) = 1.

В рамках данного подхода оператор модели системы ищется в виде линейного динамического отображения А некоторого нелинейного преобразования входа С в некоторое нелинейное преобразование выхода В. Эти три компоненты подлежат идентификации из условия минимума среднеквадратической ошибки Е.

Структурная схема, соответствующая данной постановке задачи, изображена на рис. 4.8 .

Рис. 4.8. Структурная схема идентификации объекта по методу функциональных преобразований

 

Здесь , N1(.) и N2(.) – некоторые нелинейные преобразования, a L(.)– линейный динамический оператор. Во введенных обозначениях оператор В играет роль обратного к преобразованию N2(.).

При этом схема идентификации разбивается на два этапа. На первом определяются только нелинейные преобразования входа и выхода из условия максимальной арифметизации распределения вероятностей, задаваемого совместной плотностью входного и выходного случайных процессов. На втором этапе, используя найденные нелинейные преобразования, определяется линейный оператор. Он является решением некоторого аналога корреляционного уравнения (уравнения Винера—Хопфа), в котором взаимная корреляционная функция заменяется на максимальную корреляционную функцию входного и выходного процессов, а автокорреляционная – на нелинейную автокорреляционную функцию входного процесса.

Вместе с тем при всех трех найденных компонентах процедура идентификации может быть дополнена построением преобразования, обратного преобразованию выхода. Это окончательно приводит к традиционному входо-выходному представлению модели.

Таким образом, данный метод позволяет:

· разбить процедуру непараметрической идентификации на несколько более простых последовательных стадий при построении моделей широкого класса нелинейных систем;

· полностью формализовать выбор нелинейных преобразовании входа и выхода без использования каких-либо эвристических соображений, ограничительных предположений о распределениях случайных процессов пли о принадлежности искомых преоб­разований какому-либо параметризованному семейству;

· построить критерий идентифицируемости, использующий состоятельную меру зависимости случайных процессов – максимальную (в многомерном случае – множественную) корреляционную функцию. Она дает исчерпывающую информацию о зависимости между входным и выходными процессами системы по сравнению с дисперсионными и тем более корреляционными функциями;

· построить более точную меру нелинейности идентифицируемой системы по сравнению с мерами, основанными на применении дисперсионных функций.

Задача построения моделей систем является одной из основных задач научного познания. Методы моделирования существенно используются при обработке экспериментальных данных и анализе эволюции систем, при создании интеллектуальных систем управления и принятия решений.

Для сложных, плохоформализуемых систем, природных и общественных явлений зачастую нет точных закономерностей, математических или семантических моделей. В этой главе показывается, что для описания таких систем можно использовать методы моделирования на основе знаний и информационных технологий. Эти методы используют как аналитические, так и эвристические экспертные знания, например знания оперативного персонала, лиц, принимающих решения, опытных экспертов и т.п. Для человеко-машинных систем управления обосновывается применение метода принятия решений по моделям "тренда".

При моделировании неопределенности действий интеллектуальной машины используется универсальный критерий определения «количества неопределенности».Этот критерий согласуется с предположением, что «широкая» плотность распределения вероятностей отражает большую неопределенность, чем «узкая». Шэнноном было введено количественное определение неопределенности – энтропия.

Энтропия выступает в качестве общей меры неопределенности на всех уровнях интеллектуальной машины и имеет свой определенный смысл на каждом уровне ее иерархии.

На уровне организации, высшем уровне иерархии, мера неопределенности связана с понятием информации в шэнновском смысле, поскольку этот уровень связан с представлением и обработкой знаний. При этом знание рассматривается как некоторая форма структурированной информации. Таким образом, естественно интерпретировать шэнноновскую энтропию как меру недостатка знаний. В этом случае пользуются принципом повышения точности при понижении интеллектуальности. Следует отметить, что чем меньше база знаний, тем больше интеллект машины.

На уровне согласования энтропия рассматривается как мера неопределенности согласования работы нижнего уровня.

На уровне исполнения задача управления может быть охарактеризована с помощью энтропии, которая выражает неопределенность выбора подходящего управления для решения конкретной задачи.

Таким образом, теория интеллектуальных систем может рассматриваться как математическая задача нахождения правильной последовательности решений и управлений для некоторой системы, структурированной в соответствии с принципом повышения интеллектуальности при понижении точности. При этом данная последовательность минимизирует полную энтропию систем.

Третья группа. Третье направление в теории управления на основе знаний получило название экспертного управления. Оно связано с применением методов экспертных систем для контроля традиционных пропорционально-интегрально-дифференциальных (ПИД) и адаптивных регуляторов. В системах такого типа знания, необходимые для эффективной настройки параметров регуляторов, приобретаются как у специалистов по системам управления, так и у операторов и затем помещаются в базу знаний в виде правил настройтки.

По своему духу экспертное управление ближе к традиционному адаптивному управлению. Экспертное управление включает две большие проблемные области.

Первая рассматривает то, какими знаниями об объекте необходимо располагать, чтобы автоматически настроить регулятор и осуществлять наблюдение за ним. Сюда также входит вопрос о том, как должны быть получены знания о природе обучающей процедуры.

Вторая область включает представление и использование знаний.

Вставка 1

 


 

Приложение 1

Таблица П1

Квантили распределения Стьюдента

 

Число степеней свободы, f Вероятность Р
  0,6   0,7   0,8   0,9   0,95   0,975   0,990   0,995   0,999   0,9995
0,325 ,289 ,277 ,267 ,265 ,263 ,262 ,261 ,260 ,259 ,258 ,258 ,258 ,257 ,257 ,257 ,257 ,257 ,256 ,256 ,256 ,256 ,256 ,256 ,256 ,256 ,256 ,255 ,255 ,254 ,254 ,254 ,254 ,253 0,727 ,617 ,584 ,560 ,559 ,553 ,519 ,546 ,543 ,542 ,540 ,539 ,538 ,537 ,536 ,535 ,534 ,534 ,533 ,533 ,532 ,532 ,532 ,531 ,531 ,531 ,531 ,530 ,530 ,530 ,529 ,528 ,527 ,527 ,526 ,525 ,525 1,376 ,061 ,978 ,941 ,920 ,906 ,896 ,889 ,883 ,879 ,876 ,873 ,870 ,868 ,866 ,865 ,863 ,862 ,861 ,860 ,859 ,858 ,858 ,857 ,856 ,856 ,855 ,855 ,854 ,854 ,851 ,849 ,848 ,846 ,845 ,843 ,842 3,078 1,886 1,638 1,533 1,476 1,440 1,415 1,397 1,383 1,372 1,363 1,356 1,350 1,345 1,341 1,337 1,333 1,330 1,328 1,325 1,323 1,321 1,319 1,318 1,316 1,315 1,314 1,313 1,311 1,310 1,303 1,208 1,296 1,292 1,290 1,286 1,283 6,314 2,920 2,353 2,132 2,015 1,943 1,895 1,860 1,833 1,812 1,796 1,782 1,771 1,761 1,753 1,746 1,740 1,734 1,729 1,725 1,721 1,717 1,714 1,711 1,708 1,706 1,703 1,701 1,699 1,697 1,684 1,676 1,671 1,664 1,660 1,653 1,648 12,71 4,303 3,182 2,776 2,571 2,447 2,365 2,306 2,262 2,228 2,201 2,170 2,160 2,145 2,131 1,120 2,110 2,101 2,003 2,086 2,080 2,074 2,069 2,064 2,060 2,056 2,052 2,018 2,045 2,042 2,021 2,002 2,000 1,990 1,984 1,972 1,965 31,82 6,965 4,541 3,747 3,365 3,143 2,998 2,896 2,821 2,761 2,718 2,681 2,650 2,621 2,602 2,583 2,567 2,552 2,539 2,528 2,518 2,508 2,500 2,492 2,485 2,479 2,473 2,467 2,462 2,457 2,423 2,403 2,390 2,374 2,365 2,345 2,334 63,66 9,925 5,841 4,604 4,032 3,707 3,490 3,335 3,250 3,160 3,106 3,055 3,012 2,977 2,947 2,921 2,898 2,878 2,861 2,845 2,831 2,819 2,807 2,797 2,787 2,779 2,771 2,763 2,756 2,750 2,704 2,678 2,660 2,639 2,626 2,601 2,586 3 318,3 22,330 10,220 7,173 5,893 5,808 4,785 4,501 4,297 4,144 4,025 3,390 3,852 3,787 3,733 3,686 3,646 3,611 3,579 3,552 3,527 3,505 3,485 3,467 3,450 3,435 3,421 3,408 3,396 3,385 3,307 3,262 3,232 3,195 3,174 3,131 3,106 636,6 31,600 12,940 8,610 6,859 5,959 5,405 5,041 4,781 4,587 4,437 4,318 4,221 4,140 4,073 4,015 3,985 3,965 3,883 3,850 3,819 3,792 3,767 3,745 3,725 3,707 3,690 3,674 3,659 3,646 3,551 3,495 3,460 3,415 3,389 3,339 3,310
,253 ,524 ,842 1,282 1,645 1,960 2,326 2,576 3,090 3,291
a1 0,2 0,4 0,6 0,8 0,9 0,95 0,98 0,99 0,998 0,999
b1,% 2,5 0,5 0,1 0,05
b2,% 0,2 0,1

 


Таблица П2

Квантили распределения

Число степеней свободы f Вероятность Р
  0,005   0,010   0,025   0,05   0,100   0,200   0,300   0,800   0,900   0,950   0,975   0,990   0,995   0,999
0,39·10-4 0,16·10-3 0,98·10-3 0,39·10-2 0,016 0,064 0,148 1,64 2,71 3,84 5,02 6,63 7,88 10,8
0,010 0,020 0,051 0,103 0,211 0,446 0,713 3,22 4,61 5,99 7,38 9,21 10,6 13,8
0,072 0,115 0,216 0,352 0,584 1,00 1,42 4,64 6,25 7,81 9,35 11,3 12,8 16,3
0,207 0,297 0,484 0,711 1,06 1,65 2,19 5,99 7,78 9,49 11,1 13,3 14,9 18,5
0,412 0,554 0,831 1,15 1,61 2,34 3,00 7,29 9,24 11,1 12,8 15,1 16,7 20,5
0,676 0,872 1,24 1,64 2,20 3,07 3,83 8,56 10,6 12,6 14,4 16,8 18,5 22,5
0,989 1,24 1,69 2,17 2,83 3,82 4,67 9,80 12,0 14,1 16,0 18,5 20,3 24,3
1,34 1,65 2,18 2,73 3,49 4,59 5,53 11,0 13,4 15,5 17,5 20,1 22,0 26,1
1,73 2,09 2,70 3,33 4,17 5,38 6,39 12,2 14,7 16,9 19,0 21,7 23,6 27,9
2,16 2,56 3,25 3,94 4,87 6,18 7,27 13,4 16,0 18,3 20,5 23,2 25,2 29,6
2,60 3,05 3,82 4,57 5,58 6,99 8,15 14,6 17,3 19,7 21,9 24,7 26,8 31,6
3,07 3,57 4,40 5,23 6,30 7,81 9,03 15,8 18,5 21,0 23,3 26,2 28,3 32,9
3,57 4,11 5,01 5,89 7,04 8,63 9,93 17,0 19,8 22,4 24,7 27,7 29,8 34,5
4,07 4,66 5,63 6,57 7,79 9,47 10,8 18,2 21,1 23,7 26,1 29,1 31,3 36,1
4,60 5,23 6,26 7,26 8,55 10,3 11,7 19,3 22,3 25,0 27,5 30,6 32,8 37,7
5,14 5,81 6,91 7,96 9,31 11,2 12,6 20,5 23,5 26,3 28,8 32,0 34,3 39,3
6,26 7,01 8,23 9,39 10,9 12,0 14,4 22,8 26,0 28,9 31,5 34,8 37,2 42,3
7,43 8,26 9,59 10,9 12,4 14,6 16,3 25,0 28,4 31,4 34,2 37,6 40,0 45,3
8,64 9,54 11,0 12,3 14,0 16,3 18,1 27,3 30,8 33,9 36,8 40,3 42,8 48,3
9,89 10,9 12,4 13,8 15,7 18,1 19,9 29,6 33,2 36,4 39,4 43,0 45,6 51,2
11,2 12,2 13,8 15,4 17,3 19,8 21,8 31,8 35,6 38,9 41,9 45,6 48,3 54,1
12,5 13,6 15,3 16,9 18,9 21,6 23,6 34,0 37,9 41,3 44,5 48,3 51,0 56,9
13,8 15,0 16,8 18,5 20,6 23,4 25,5 36,3 40,3 43,8 47,0 50,9 53,7 59,7
17,2 18,5 20,6 22,5 24,8 27,8 30,2 41,8 46,1 49,9 53,2 57,3 60,3 66,6
20,7 22,2 24,4 26,5 29,1 32,3 34,9 47,3 51,8 55,8 59,3 63,7 66,8 73,4
24,3 25,9 28,4 30,6 33,4 36,9 39,6 52,7 57,5 61,7 65,4 70,0 73,2 80,1
28,0 29,7 32,4 34,8 37,7 41,4 44,3 58,2 63,2 67,5 71,4 76,2 79,5 86,7
31,7 33,6 36,4 39,0 42,1 46,0 49,1 63,6 68,8 73,3 77,4 82,3 85,7 93,2
35,5 37,5 40,5 43,2 46,5 50,6 53,8 69,0 74,4 79,1 83,3 88,4 92,0 99,6
39,4 41,4 44,6 47,4 50,9 55,3 58,6 74,4 80,0 84,8 89,2 94,4 98,1 106,0
43,3 45,4 48,8 51,7 55,3 59,9 63,3 79,7 85,5 90,5 95,0 100,4 104,2 112,3
51,2 53,5 57,2 60,4 64,3 69,2 72,9 90,4 96,6 101,9 106,6 112,3 116,3 124,8
59,2 61,8 65,6 69,1 73,3 78,6 82,5 101,1 107,6 113,1 118,1 124,1 128,3 137,2
67,3 70,1 74,2 77,9 82,4 87,9 92,1 111,7 118,5 124,3 129,6 135,8 140,2 149,4

 


 


Таблица П3

Нормированная функция Лапласа

 

x
0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0 0,00000   0,00399 0,00798 0,01197 0,01595 0,01994 0,02392 0,02790 0,03188 0,03586  
Продолжение таблицы П3  
x
2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9 3,0 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6 3,7 3,8 3,9 4,0 4,5 5,0    

 

 

Таблица П4

Функция распределения Релея

 

Rс F(Rс) Rс F(Rс)   Rс F(Rс)
0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 0,000 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9 0,675 3,0 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6 3,7 3,8 3,9 4,0 4,01 4,02 4,04 4,06 0,9889 0,99998

 

 


Литература

 

1. Батищев Д.А. Генетические алгоритмы решения экстремальных задач. – Воронеж: Изд-во ВГТУ, 1995. –

2. Бенькович Е.С., Колесов Ю.Б., Сениченков Ю.Б. Практическое моделирование динамических систем. – СПб.: БХВ-Петербург, 2002. – 464с.

3. Бершадский А.М. Применение графов и гиперграфов для автоматизации конструкторского проектирования РЭА и ЭВА. – Саратов: Изд-во СГУ, 1993. –

4. Варфоломеев В.И., Назаров С.В. Алгоритмическое моделирование элементов экономических систем: Практикум: Учеб. пособие. –2-е изд., доп. и перераб./Под ред. С.В.Назарова. – М.: Финансы и статистика, 2004. – 264с.

5. Емельянов В.В., Курейчик В.В., Курейчик В.М. Теория и практика эволюционного моделирования. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. – 432с.

6. Карпов Ю. Имитационное моделирование систем. Введение в моделирование с Anylogic 5. – СПб.: БХВ-Петербург, 2006. – 400с.

7. Колесов Ю.Б., Сениченков Ю.Б. Моделирование систем. Динамические и гибридные системы. Учеб. пособие. – СПб.:БХВ-Петербург, 2006. – 224с.

8. Колесников А.А. Синергетическая теория управления. – Таганрог: ТРТУ; М.: Энергоатомиздат, 1994. –

9. Кристофидес Н. Теория графов. Алгоритмический подход. – М.: Мир, 1978. –

10. Курицкий Б.Я. Оптимизация вокруг нас. Л.: Машиностроение, 1989. –

11. Лазарев Ю. Моделирование процессов и систем в МАТLAB Учебный курс. – СПб.: Питер; Киев: Издательская группа BHV, 2005. – 512с.

12. Месарович М., Мако Д., Такахара Теория иерархических многоуровневых систем. – М.: Мир, 1973. –

13. Моисеев Н.Н. Математические задачи системного анализа. – М.:Наука, 1981. –

14. Нечепуренко М.И. Алгоритмы и программы решения задач на графах и сетях. – Новосибирск: Наука, 1990. –

15. Первозванский А.А. Математические модели в управлении производством. – М.: Наука, 1975. – 616с.

16. Поспелов Д.А. Ситуационное управление. Теория и практика. – М.: Наука, 1986. –

17. Прангишвили, И. В. Системные законы и закономерности в электродинамике, природе и обществе / И.В.Прангишвили, Ф.Ф.Пащенко, Б.П.Бусыгин; РАН,Ин-т пробл. упр. — М. : Наука, 2001 .— 525 с.

18. Самарский А.А., Вабищевич П.Н., Самарская Е.А. Задачи и упражднения по численным методам: Учеб. пособие. – М.: Эдиториал УРСС, 2000. – 208с.

19. Системные закономерности и системная оптимизация / И.В.Прангишвили, В.Н.Бурков, И.А.Горгидзе .— М. : СИНТЕГ, 2004 .— 204с.

20. Трахтенгерц Э.А. Компьютерная поддержка принятия решений. – М.: Синтег, 1998. –

21. Харари Ф. Теория графов. – М.: Мир, 1977. –

22. Шелухин О.И., Тенякшев А.М., Осин А.В. Моделирование информационных систем / Под ред. О.И.Шелухина. Учеб. пособие. – М.: Радиотехника, 2005. – 368с.

23. Эйкхофф, Питер. Основы идентификации систем управления : оценивание параметров и состояния : пер. с англ. / П. Эйкхофф ; Под ред. Н. С. Райбмана .— М. : Мир, 1975 .— 683 с.

 








Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту:



©2015 - 2024 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.