Вывод производных основных элементарных функций

Глава II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

Производная функции

Определение производной функции

Пусть функция непрерывна на отрезке и точка является внутренней точкой этого отрезка.

Определение. Производной функции в точке называется предел отношения приращения функции к приращению независимой переменной при , если этот предел существует (конечный или бесконечный), т. е.

Если , то говорят, что функция имеет бесконечно большую производную.

Если существуют только односторонние пределы при , то функция имеет односторонние производные .

Если функция имеет производные в любой точке интервала , то называется производной функции на этом интервале.

Дифференцируемость функции, ее взаимосвязь с производной

И непрерывностью функции

Определение. Функция называется дифференцируемой в точке , если ее приращение в этой точке можно представить в виде , где , при .

Если функция дифференцируемая в точке , то она имеет конечную производную в этой точке. Действительно,

Справедливо также обратное утверждение, если функция одной переменной имеет конечную производную, то она дифференцируемая. Пусть , где . По теореме 1.3 о представлении функции в виде суммы предела и бесконечно малой функции

Следовательно, является дифференцируемой функцией.

Рассмотрим, как связана дифференцируемость функции с ее непрерывностью.

Если функция, дифференцируемая в точке, то она непрерывна в этой точке. Действительно, , что соответствует определению 1 непрерывности функции в точке.

Однако, не всякая непрерывная функция является дифференцируемой.

Например, функция является непрерывной в точке x = 0 (рис. 16) , а ее производная в точке x = 0 не существует (рис. 17). Следовательно, является не дифференцируемой в точке х = 0.

Рис. 16

Рис. 17

Непосредственное нахождение производной

Найти производные функций, используя определение производной.

1. . Производная постоянной равна нулю.

2. .

Геометрический смысл производной

Рис. 18

, где φ – угол наклона секущей

, проходящей через точку

к оси Оx. При

секущая

стремится к касательной

, где a – угол наклона к оси Ох касательной.

Таким образом, производная функции в точке равна тангенсу угла наклона касательной к графику этой функции в данной точке (рис. 18).

Используем этот факт, запишем уравнение касательной в точке

Механический смысл производной

Пусть S = S(t) является функцией зависимости пути от времени. Тогда

Отсюда следует, что производная функции равняется мгновенной скорости изменения функции.

Правила дифференцирования функций

Пусть u = u(x) и v = v(х) – дифференцируемые функции. Получим формулы дифференцирования суммы, произведения и частного функций. При этом используем определение производной и свойства пределов.

1. Производная суммы (разности) функций.

2. Производная произведения функций.

3. Производная частного функций (v(х) ¹ 0).

4. Производная сложной функции , .

Правило нахождения производной сложной функции. Производная сложной функции равняется произведению производных составляющих функций; причем при нахождении производных составляющих функций их аргументы не изменяются.

5. Производные взаимно обратных функций и .

Следовательно, производные взаимно обратных функций являются обратными по величине.

Вывод производных основных элементарных функций

Получим формулы для нахождения производных основных элементарных функций.

1. . При нахождении производной функции используем определение производной, формулы преобразования тригонометрических выражений и первый замечательный предел.

2. . Используем формулы приведения и производную сложной функции, получим

3. . Используем формулу дифференцирования частного, получим

4. . .

При выводе формул нахождения производных обратных тригонометрических функций используем взаимосвязь производных взаимно обратных функций и формулы взаимосвязи тригонометрических функций.

5. . Для обратной функцией является .

6. .

7. .

8. .

9. .При нахождении производной логарифмической функции используем определение производной и второй замечательный предел.

В частном случае, когда a = e, .

10. При нахождении производной показательной функции используем так называемое логарифмическое дифференцирование. Для этого логарифмируем равенство , получаем . Это равенство дифференцируем; при этом учитываем, что сложная функция.

В частном случае, когда a = e , .

11. Производную степенной функции найдем так же, используя логарифмическое дифференцирование.

В практических задачах часто встречаются производные от функций и , которые полезно помнить.

. .

12. Производная обобщенно-показательной (показательно-степенной) функции . Используем определение логарифма, представим функцию в виде Эту функцию дифференцируем как сложную показательную функцию.

= .

Как можно заметить производная обобщенно-показательной функции равняется сумме производных как показательной и как степенной функций.

Например: 1) ;

13. Производная функции, заданной неявно.

Функция называется заданной неявно, если она задана уравнением , не разрешенным относительно y. Чтобы найти производную функции , заданную неявно, необходимо каждое слагаемое уравнения продифференцировать по x, учитывая, что y зависит от x, и из получившегося уравнения найти .