Рассмотрим дифференцирование функции, заданной параметрически.

Тема 6. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

Производная функции одной переменной

Пусть функция определена на некотором интервале . Аргументу дадим приращение : , тогда функция получит приращение . Найдем предел этого отношения при Если этот предел существует, то его называют производной функции . Производная функции имеет несколько обозначений: . Иногда в обозначении производной используется индекс , указывающий, по какой переменной взята производная.

Определение.Производной функции в точке называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю (если этот предел существует):

.

Определение.Функция , имеющая производную в каждой точке интервала , называется дифференцируемой в этом интервале.

Определение.Операция нахождения производной функции называется дифференцированием.

Значение производной функции в точке обозначается одним из символов: .

ПримерНайти производную функции в произвольной точке .

Решение. Значению даем приращение . Найдем приращение функции в точке : . Составим отношение . Перейдем к пределу: . Таким образом, .

Механический смысл производной. Так как или , т.е. скорость прямолинейного движения материальной точки в момент времени есть производная от пути по времени . В этом заключается механический смысл производной.

Если функция описывает какой-либо физический процесс, то производная есть скорость протекания этого процесса. В этом состоит физический смысл производной.

Геометрический смысл производной.Рассмотрим график непрерывной кривой , имеющий в точке невертикальную касательную. Найдем ее угловой коэффициент , где - угол касательной с осью . Для этого проведем через точку и графика секущую (рисунок 1).

Обозначим через - угол между секущей и осью . На рисунке видно, что угловой коэффициент секущей равен

.

При в силу непрерывности функции приращение тоже стремится к нулю; поэтому точка неограниченно приближается по кривой к точке , а секущая , поворачиваясь около точки , переходит в касательную. Угол , т.е. . Следовательно, , поэтому угловой коэффициент касательной равен .

Угловой коэффициент касательной к кривой

. Это равенство перепишем в виде: , т.е. производная в точке равна угловому коэффициенту касательной к графику функции в точке, абсцисса которой равна . В этом заключается геометрический смысл производной.

Пример Найти угловой коэффициент касательной к графику функции в точке .

Решение. . .

Если точка касания имеет координаты (рисунок 2), угловой коэффициент касательной равен: .

Уравнение прямой проходящей через заданную точку в заданном направлении имеет вид: . Тогда уравнение касательной записывается в виде: .

Определение.Прямая, перпендикулярная касательной в точке касания, называется нормалью к кривой.

Угловой коэффициент нормали равен: (так как нормаль перпендикулярна касательной). Уравнение нормали имеет вид: , если .

ПримерСоставить уравнения касательной и нормали к кривой в точке с абсциссой .

Решение. Находим . Находим производную . Так как и , то воспользуемся уравнениями и .

Подставляя найденные значения и получаем уравнения касательной , т.е. . Уравнение нормали: или .

Если функция имеет конечную производную в точке, то она дифференцируема в этой точке. Если функция дифференцируема в каждой точке интервала, то она дифференцируема в этом интервале.

Теорема 6.1Если функция дифференцируема в некоторой точке, то она непрерывна в ней.

Обратная теорема неверна. Непрерывная функция может не иметь производной.

ПримерФункция непрерывна на интервале (рисунок 3).

Решение. Производная этой функции равна

.

В точке - функция не дифференцируема.

Замечание. На практике чаще всего приходится находить производные от сложных функций. Поэтому в таблице формул дифференцирования аргумент заменен на промежуточный аргумент .

Таблица производных

Постоянная величина

1) ;

Степенная функция :

2) , в частности ;

Показательная функция :

3) , в частности ;

Логарифмическая функция :

4) , в частности, ;

Тригонометрические функции :

5) ;

6) ;

7) ;

8) ;

Обратные тригонометрические функции , , , :

9) ;

10) ;

11) ;

12) ;

Продифференцировать функцию это значит найти ее производную, то есть вычислить предел: . Однако определение предела в большинстве случаев представляет громоздкую задачу.

Если знать производные основных элементарных функций и знать правила дифференцирования результатов арифметических действий над этими функциями, то можно легко найти производные любых элементарных функций, согласно правил определения производных, хорошо известных из школьного курса.

Пусть функции и - две дифференцируемые в некотором интервале функции.

Теорема 6.2Производная суммы (разности) двух функций равна сумме (разности) производных этих функций: .

Теорема справедлива для любого конечного числа слагаемых.

ПримерНайти производную функции .

Решение.

.

Теорема 6.3Производная произведения двух функций равна произведению производной первого сомножителя на второй плюс произведение первого сомножителя на производную второго: .

ПримерНайти производную функции .

Решение.

.

Теорема 6.4 Производная частного двух функций , если равна дроби, числитель которой есть разность произведений знаменателя дроби на производную числителя и числителя дроби на производную знаменателя, а знаменатель есть квадрат прежнего знаменателя: .

Пример Найти производную функции .

Решение. .

Для нахождения производной сложной функции надо производную данной функции по промежуточному аргументу умножить на производную промежуточного аргумента по независимому аргументу

. (1)

Это правило остается в силе, если промежуточных аргументов несколько. Так, если , , , то

. (2)

Пусть и, тогда - сложная функция с промежуточным аргументом и независимым аргументом .

Теорема 6.5Если функция имеет производную в точке , а функция имеет производную в соответствующей точке , то сложная функция имеет производную в точке , которая находится по формуле .

ПримерНайти производную функции

Решение. Применим правило дифференцирования сложной функции. Промежуточным аргументом является . Поэтому сначала следует взять производную от степенной функции по и умножить ее на производную от . Так как , то с учетом правила дифференцирования сложной функции получим: , т.е.

Производная обратной функции равна обратной величине производной данной функции:

. (3)

Пусть и - взаимно обратные функции.

Теорема 6.6Если функция строго монотонна на интервале и имеет неравную нулю производную в произвольной точке этого интервала, то обратная ей функция также имеет производную в соответствующей точке, определяемую равенством или .

ПримерНайти производную функции .

Решение. Пользуясь правилом дифференцирования обратной функции найдем . Обратная функция имеет производную . Следовательно, .

Правила дифференцирования:

1) ;

2) , ;

3) , ;

4) , если , ;

5) , если , .

Определение. Если функция задана уравнением , разрешенным относительно , то функция задана в явном виде (явная функция).

Определение. Неявная функция одного аргумента задается уравнением, связывающим две переменные, причем уравнение не разрешено относительно какой-либо из них: или .

Определение. Уравнение, связывающее три переменные, задает неявную функцию 2 аргументов: , или , или .

Не всегда легко, а иногда и невозможно разрешить уравнение относительно (например, или ).

Если неявная функция задана уравнением , то для нахождения производной от по нет необходимости разрешать уравнение относительно . Нужно продифференцировать это уравнение по , рассматривая при этом как функцию , и полученное затем уравнение разрешить относительно .

ПримерНайти производную функции , заданную уравнением: .

Решение. Функция задана неявно. Продифференцируем уравнение по , помня, что : . Затем находим: .

Рассмотрим дифференцирование функции, заданной параметрически.

Пусть функция задана параметрически: где – вспомогательная переменная, называемая параметром.

Нужно найти . Предположим, что имеет однозначную обратную функцию . Продифференцируем уравнение по , как сложную функцию, считая промежуточным аргументом, зависящим от : ; . Так как , то получим:

. (4)

ПримерПусть Найти .

Решение. По формуле (4), получаем

Производную функции одной переменной в некоторых случаях можно найти значительно проще, если функцию предварительно прологарифмировать, такой метод называется логарифмическое дифференцирование.

Логарифмическое дифференцирование обычно применяется при отыскании производной от степенно-показательной функции и от произведения функций, т.е. в тех случаях, когда обычными методами производную нельзя найти, либо вычисление производной очень громоздко. Конечно, эта операция может применяться и в других случаях.

Определение.Функция , у которых основание и показатель степени есть функции независимых переменных, называются степенно-показательными.

Производные таких функций вычисляются только с помощью логарифмического дифференцирования.

ПримерДана функция . Найти .

Решение. Прологарифмировав функцию , получим

.

Дифференцируем полученное уравнение по : . Из последнего равенства найдем :

.

Дифференциал функции

Рассмотрим функцию , имеющую в точке отличную от нуля производную: . По теореме о связи функции, ее предела и бесконечно малой функции, можно записать , где при , или . Приращение функции представляет собой сумму двух слагаемых и , являющихся бесконечно малыми при . Заметим, что - бесконечно малая функция одного порядка с , так как , а - функция более высокого порядка, чем : .

Определение.Слагаемое называется главной частью приращения функции .

Определение.Дифференциалом функции в точке называется главная часть ее приращения, равная произведению производной функции на приращение аргумента, и обозначается или . Заметим, что

. (5)

Определение.Дифференциал называется дифференциалом первого порядка.

Дифференциал независимой переменной равен приращению этой переменной:

. (6)

В самом деле, так как и , то .

Определение.Дифференциал функции равен произведению производной этой функции на дифференциал независимой переменной:

. (7)

Так как , то – отношение дифференциалов и .

ПримерНайти дифференциал функции .

Решение. По формуле находим:

.

ПримерНайти полное приращение функции и ее дифференциал, сравнить их значения при .

Решение. Полное приращение запишем в виде:

. Преобразуем это выражение: . По определению найдем полный дифференциал: . Подставив , получим, и .

Геометрический смысл дифференциала: Дифференциал функции в точке равен приращению ординаты касательной к графику функции в этой точке, когда получит приращение .

Поясним утверждение, для этого рассмотрим график функции (рисунок 4).

Проведем к графику функции в точке касательную . Рассмотрим ординату этой касательной для точки , заметим, что , а . Рассмотрим прямоугольный треугольник , в котором , т.е. . Так как – геометрический смысл производной, то . Из формул: и получаем, что . Возможны три случая: , и – если функция является постоянной.

Механический смысл дифференциала: Дифференциал пути равен приращению пути, полученному в предположении, что, начиная с данного момента времени , точка движется равномерно, сохраняя приобретенную скорость.

Рассмотрим неравномерное прямолинейное движение точки, осуществляющееся по закону , где - длина пути, - время. Приращенному моменту времени соответствует приращенное значение пути: . Эта формула выражает истинное приращение пути за промежуток времени .

Вычислим дифференциал пути. Так как – скорость в момент , то .

Поскольку в выражение для дифференциала входит производная, то правила его вычисления используют правила вычисления производной:

1) Если функция равна постоянной , то ее дифференциал равен нулю, т.е. .

2) Дифференциал функции равен приращению этой функции: ; (дифференциал независимой переменной совпадает с ее приращением).

Отсюда следует: ; .

3) Дифференциал суммы: .

4) Дифференциал произведения: .

5) Дифференциал частного: .

Теорема 6.7Дифференциал сложной функции равен произведению производной этой функции по промежуточному аргументу на дифференциал этого промежуточного аргумента:

Определение. и – форма дифференциала не изменилась независимо от того, является ли ее аргумент независимой переменной или является функцией одного аргумента. Такое свойство дифференциала называется инвариантностью (неизменностью) формы первого дифференциала.

Таблица дифференциалов

Пусть , – некоторые непрерывные функции аргумента х.

1) ;

2) , ;

3) , ;

4) , если ;

5) , если и ;

6) ;

7) ;

8) , ;

9) , ;

10) ;

11) ;

12) ;

13)

14) ;

15) ;

16) ;

17) ;

Приращение любой дифференцируемой функции приближенно с большой точностью можно вычислить при помощи равенства: .

Приращение функции в точке можно представить в виде , где при . Отбросим бесконечно малую более высокого порядка, чем , получим приближенное равенство: . Чем меньше , тем точнее равенство.

Так как , , то из равенства или получим формулу для вычислений приближенных значений функци:

(8)

ПримерВычислить приближенно приращение функции при изменении от значения 2 к значению 2,02.

Решение. Так как достаточно малых : ( ).

Найдем : . Вычислим . Итак, .

ПримерНайти приближенное значение .

Решение. Рассмотрим функцию . По формуле имеем: или . Так как , то при и , получаем:

Так как , то . Приближенное равенство можно увидеть из рисунка 4, дающего геометрическое истолкование дифференциала. На графике видно, что при уменьшении все с большей относительной точностью можно заменить приращение ординаты кривой приращением ординаты касательной.

Рассмотрим функцию одного переменного заданную явно: .

Производная этой функции зависит от координаты точки, в которой она вычисляется, т. е. является также функцией от . Поэтому от нее можно снова взять производную.

Определение.Производная, взятая от первой, называется производной второго порядка; производная, взятая от производной второго порядка, называется производной третьего порядка и т.д.:

;

;

.

Определение.Производной -го порядка называется производная, взятая от производной -порядка.

ПримерНайти производную -го порядка от функции .

; ; ;

Пусть функция задана параметрическими уравнениями:

Производная функции заданной параметрически также является функцией заданной параметрически. Вторую производную можно найти и используя формулу (4), и по формуле:

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: