Эйлера — кинематические уравнения Эйлера

По заданным уравнениям движения (5.1) можно определить мгновенную угловую скорость .

Поскольку при движении НМС с одной неподвижной точкой изменяются все три угла Эйлера с угловыми скоростями , , , то угловая скорость мгновенного вращательного движения НМС относительно мгновенной оси вращения будет равна геометрической сумме угловых скоростей , , (глава 8):

. (5.2)

Используя рис. 56, спроектируем выражение (5.2) на оси неподвижной системы координат :

(5.3)

Используя рис. 56, спроектируем также выражение (5.2) на оси подвижной системы координат Охуz:

(5.4)

Формулы (5.3) и (5.4) при известных уравнениях движения НМС (5.1) позволяют определить модуль угловой скорости:

.

Направление угловой скорости можно определить по известным формулам через косинусы углов, которые составляет этот вектор с осями координат.

Угловое ускорение НМС

Так как движение НМС с одной неподвижной точкой может быть представлено в каждый момент времени, как мгновенное вращательное движение с угловой скоростью относительно мгновенной оси вращения, проходящей через неподвижную точку, а изменяется с течением времени не только по модулю, но и по направлению, то направление углового ускорения не совпадает с направлением (в отличие от вращательного движения НМС вокруг неподвижной оси и плоскопараллельного движения НМС).

По смыслу векторной производной – угловое ускорение направлено по касательной к годографу угловой скорости в соответствующей точке (рис. 59) (по аналогии с направлением скорости по касательной к годографу радиус-вектора , ).

Рис. 59

Так как

(5.5)

то, взяв производную по времени от проекций угловой скорости на оси неподвижной системы координат (5.3), можно вычислить проекции углового ускорения на неподвижные оси через углы Эйлера. Аналогично можно найти проекции углового ускорения на подвижные оси координат.

Модуль углового ускорения определяется формулой:

(5.6)

Направление углового ускорения можно определить через косинусы углов, которые составляет этот вектор с осями координат.

Скорость точки НМС

Так как в каждый момент времени движение НМС с одной неподвижной точкой представляет собой мгновенное вращательное движение относительно мгновенной оси, проходящей через эту неподвижную точку, то, используя векторную формулу Эйлера (3.13), для каждого момента времени можно записать:

. (5.7)

Модуль скорости определяется соотношением:

, (5.8)

где r_В×sina – кратчайшее расстояние от рассматриваемой точки до мгновенной оси вращения.

Направление скорости определяется правилом векторного произведения:

· (следовательно, скорость перпендикулярна также отрезку );

· скорость направлена так, чтобы, глядя с конца этого вектора, поворот от был виден против хода часовой стрелки (рис. 60).

Скорость можно проектировать как на неподвижные, так и на подвижные координатные оси.

Рис. 60

Представляя выражение (5.7) в виде определителя, получим:

, (5.9)

где — координаты точки B в неподвижной системе координат, а — единичные орты неподвижной системы координат.

Разлагая определитель по элементам первой строки, получим проекции скорости на неподвижные оси Оx, Оh, Оz:

(5.10)

Представляя выражение (5.7) в виде определителя, получим также:

, (5.11)

где x, y, z – координаты точки B в подвижной системе координат, а – единичные орты подвижной системы координат.

Разлагая определитель по элементам первой строки, получим проекции скорости на подвижные оси Ох, Оу, Оz:

(5.12)

где х, у, z – величины постоянные, так как положение точки относительно осей Охуz, неизменно связанных с движущейся НМС, с течением времени не изменяется.

Формулы (5.10) и (5.12) называются формулами Эйлера.

Ускорение точки НМС

Ускорение точки В, принадлежащей НМС, имеющую одну неподвижную точку, можно найти, взяв производную по времени от выражения (5.7):

или

. (5.13)

Первое слагаемое ускорения точки:

(5.14)

называется вращательным ускорением точки.

Величина вращательного ускорения точки определяется формулой:

, (5.15)

где = r_В sin b (рис. 61).

Направление вращательного ускорения точки определяется правилом векторного произведения:

· (следовательно, ускорение перпендикулярно также отрезку );

·ускорение направлено так, чтобы, глядя с конца этого вектора, поворот от был виден против хода часовой стрелки (рис. 61).

Рис. 61

В отличие от случая вращения НМС вокруг неподвижной оси угловое ускорение при сферическом движении НМС не лежит на той же прямой, что и угловая скорость , а направлено по касательной к годографу угловой скорости . Поэтому вращательное ускорение перпендикулярно не к радиусу мгновенного вращения , представляющему собой кратчайшее расстояние от точки до мгновенной оси вращения, а к отрезку , представляющему собой кратчайшее расстояние от точки В до прямой, вдоль которой от точки О отложено угловое ускорение (рис. 61).

Второе слагаемое ускорения точки:

(5.16)

называется осестремительным ускорением точки.

Величина осестремительного ускорения точки с учетом (5.8) определяется формулой:

. (5.17)

Направление осестремительного ускорения МТ определяется правилом векторного произведения:

· ;

· ускорение направлено так, чтобы, глядя с конца этого вектора, поворот от к был виден против хода часовой стрелки (рис. 61).

Так как три взаимно перпендикулярных направления (рис. 60), то осестремительное ускорение направлено по к мгновенной оси вращения (рис. 61).

Таким образом,

, (5.18)

а модуль ускорения , как диагональ параллелограмма, построенного на ускорениях и , может быть определен по формуле:

. (5.19)

Подставив соотношения (5.15) и (5.16) в формулу (5.19), получим:

.

Ускорение любой точки НМС с одной неподвижной точкой можно проектировать как на неподвижные, так и на подвижные оси декартовой системы координат.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: