Природа и классификация (общие сведения)
Определение потерь энергии в потоке является важнейшим вопросом любого гидравлического расчёта. Различают два вида гидравлических сопротивлений: местные и по длине.
Местные сопротивления обусловлены изменениями формы и размеров русла, вызывающими деформацию потока. При протекании по местным сопротивлениям возникают интенсивные вихри, которые и вызывают в конечном счёте потери энергии. В качестве примеров местных сопротивлений можно назвать: вентили, задвижки, внезапные расширения и сужения русла, диафрагмы, повороты и т.д.
Местные потери рассчитываются по формуле
| ,
| (2.40)
| где буквой z обозначают коэффициент местного сопротивления;
v – средняя скорость в трубопроводе.
Формулу (2.40) называют формулой Вейсбаха. Каждое местное сопротивление характеризуется своим значением коэффициента z.
Потери по длине - это потери, которые возникают в прямых трубах постоянного сечения. Этот вид потерь обусловлен внутренним трением в жидкости и возникает как в гладких, так и в шероховатых трубах.
Потерю напора по длине рассчитывают по формуле
| ,
| (2.41)
| где hl – потеря по длине, м;
l – длина участка трубы, м;
d – диаметр трубы, м;
l – коэффициент сопротивления трения.
Формулу (2.41) называют формулой Дарси.
Общие потери в потоке складываются из суммы потерь, вызванных каждым сопротивлением
| .
| (2.42)
| Такое представление о сложении потерь называется принципом наложения.
Глава 3. Режимы течения жидкостей в трубах и основы теории подобия
3.1. Режимы течения жидкостей в трубах. Опыты Рейнольдса.
Понятие о критическом числе Рейнольдса
Опытами установлено, что существуют два основных режима движения жидкостей - ламинарный и турбулентный.
При ламинарном режиме жидкость движется скользящими друг по другу несмешивающимися струйками или слоями.
При турбулентном режиме отдельные частицы жидкости движутся по произвольным сложным траекториям, происходит интенсивное перемешивание частиц жидкости.
Впервые предположение о существований двух режимов движения жидкости было высказано Д.И. Менделеевым. Несколько позже английский физик О. Рейнольдс опытным путём подтвердил это предположение. Опытная установка для визуального наблюдения Рейнольдса представляла собой резервуар 1 (рис. 3.1), к которому присоединялся прозрачный трубопровод 2 с запорным устройством 3. Мерный бак 4 позволял измерять расход Q и, следовательно среднюю скорость в прозрачном трубопроводе. Для того, чтобы сделать поток видимым из малого резервуара 5 по тонкой трубке в основной поток подавалась краска.
Рис. 3.1
Наблюдения показали, что при малых скоростях движения жидкости струйка краски движется в трубе параллельно стенкам, в виде тонкой нити, не смешиваясь с основной массой жидкости. Такой режим движения жидкости называется ламинарным (рис. 3.2, а).
При увеличении скорости движения жидкости наблюдается нарушение устойчивости ламинарного движения (рис. 3.2, б). Струйка краски приобретает волнистую форму, в ней появляются разрывы. Дальнейшее увеличение скорости потока приводит к полному разрушению струйки краски и окрашиванию всей массы жидкости в один цвет. Размывание струйки происходит вследствие интенсивного образования вихрей и беспорядочного движения частиц жидкости. Такой режим движения жидкости называется турбулентным (рис. 3.2, в).
На практике имеют место как ламинарное, так и турбулентное движения. Ламинарный режим наблюдается, когда по трубам движутся весьма вязкие жидкости, например смазочные масла. Турбулентный режим – при движении маловязких жидкостей – воды, бензина, кислот, и других. Переход от одного режима движения жидкости к другому происходит при определённом значении скорости vкр, которая получила название критической.
Рейнольдсом дан метод установления характера течения жидкости через количественный критерий. Опыты показали, что режим движения жидкости определяется комплексом следующих величин: 1. динамической вязкостью m; 2. плотностью жидкости r; 3. средней скоростью потока v; 4. величиной диаметра трубы, а количественный критерий, названный в честь его автора числом Рейнольдса, имеет вид
| ,
| (3.1)
| где u – кинематический коэффициент вязкости.
Число Рейнольдса, подсчитанное по критической скорости vкр, называется критическим числом Рейнольдса
| ,
| (3.2)
| Как показывают опыты, Reкр для труб круглого сечения равен 2320. Если число Рейнольдса в потоке меньше 2320 – течение ламинарное, если больше – турбулентное.
Смена режима движения при достижении Reкр обусловлена тем, что одно течение теряет устойчивость, а другое – приобретает. При Re < Reкр ламинарное течение вполне устойчивое, а всякого рода турбулизация погашается влиянием вязкости. При Re > Reкр, наоборот турбулентное течение устойчиво.
3.2. Понятие о гидродинамическом подобии
Сложность процессов, протекающих в жидкости не позволяет в полной мере использовать результаты теоретического анализа для решения практических задач. Поэтому в гидравлике широко используется эксперимент в сочетании с теорией. Очевидно, что при постановке эксперимента возникает нужда в исследовании не натурных образцов гидравлических сооружений и устройств, а моделей этих устройств. При создании и исследовании моделей возникают вопросы: 1. какие явления и процессы подобны изучаемому; 2. что измерять при проведении эксперимента; 3. как обрабатывать результаты исследования. Ответы на эти и другие вопросы даёт наука о постановке эксперимента – теория подобия.
Подобными явлениями называются явления качественно одинаковые, описываемые одинаковыми дифференциальными уравнениями. Гидродинамическое подобие – это подобие геометрические, кинематическое и динамическое.
Геометрическое подобие означает пропорциональность сходственных размеров и равенство соответствующих углов:
Кинематическое подобие – это подобие линий тока и пропорциональность сходственных скоростей, ускорений:
Здесь индексы "Н" относятся к натурному потоку, "М" – к модельному. Соответственно L – линейный размер, F – площадь, W – объём, v – скорость, t – время, a – ускорение, С – масштаб моделирования.
Динамическое подобие – это подобие масс, плотностей, сил:
Здесь m – масса, r – плотность, m – динамический коэффициент вязкости, Р – сила.
Получим основной критерий гидродинамического подобия. В соответствии с законом Ньютона Р = mа. Для подобных потоков
|
| (3.6)
| или
| .
| (3.7)
| Имея в виду значения масштабов моделирования (3.5), можно записать
| .
| (3.8)
| Поскольку комплексы (3.8) для подобных потоков должны быть одинаковыми, запишем
| .
| (3.9)
| Чаще пользуются другим выражением. Так как t = L/v, то
| .
| (3.10)
| Полученный выше комплекс называется критерием Ньютона.
Согласно первой теореме теории подобия подобные между собой явления имеют одинаковые критерии подобия Neн = Neм .
Вторая теорема подобия утверждает, что интеграл дифференциального уравнения, описывающего данный процесс, может быть представлен в виде зависимости между критериями подобия
Если результаты опыта представить в критериальной форме, то эти критериальные зависимости будут общими для всех подобных явлений.
Для получения общего гидродинамического подобия необходимо иметь подобие по всем силам, действующим в системе. Однако это не всегда возможно. В таких случаях довольствуются частичным (локальным) подобием по силам, преобладающим в изучаемом потоке. При этом критерий Ne преобразуется в другие критерии.
Пусть в потоке преобладают силы трения. Тогда в соответствии с законом Ньютона:
| .
| (3.11)
| Подставим в критерий Ньютона вместо Р – Т и получим
| .
| (3.12)
| В подобных системах , поэтому
|
| (3.13)
| или
| .
| (3.14)
| Запишем (3.14) через масштабы моделирования
| .
| (3.15)
| Помня то, что Сm /Сr = Сu, получим после сокращения
| .
| (3.16)
| Следовательно
| .
| (3.17)
| Указанный выше комплекс назван критерием Рейнольдса и для подобных потоков, в которых главную роль играют силы трения
| .
| (3.18)
| Для круглой трубы характерным линейным размером является диаметр d и
| .
| (3.19)
| Если в потоке преобладают силы тяжести, то в качестве силы Р в критерий Ньютона следует подставить G = mg
| .
| (3.20)
| После очевидных сокращений получим:
| .
| (3.21)
| Отношение, обратное (3.21) называется критерием Фруда
| .
| (3.22)
| Следовательно, в тех случаях, когда моделируются явления, при которых преобладают силы тяжести, должно соблюдаться равенство критериев Фруда натуры и модели.
Если в жидкости преобладают силы давления, то в критерий Ньютона подставляют Р=DрF. После несложных преобразований получают критерий Эйлера
| .
| (3.23)
| В подобных потоках требуется равенство критериев Эйлера для натуры и модели
С физической точки зрения всё полученные критерии представляют собой меру отношения сил инерции к преобладающим в потоке жидкости силам.
Современная теория подобия рекомендует все результаты экспериментов представлять в виде критериальной зависимости Еu = f (Re, Fr).
Покажем, что коэффициент сопротивления l в формуле для расчёта потерь напора по длине , тоже является критерием подобия. Докажем, это положение. Так как , то после несложных преобразований получим
| ,
| (3.24)
| или
| .
| (3.25)
| Ниже мы убедимся в том, что l = f (Re) и тогда получим, что
| ,
| (3.26)
| а это согласуется с требованиями теории подобия.
Глава 4. Ламинарное движение жидкости
4.1. Потери на трение при равномерном движении
При исследовании любого режима движения и в том числе ламинарного ставится задача нахождения потерь напора и расчёта поля скоростей. Рассмотрим установившееся равномерное движение жидкости в круглой цилиндрической трубе (рис.4.1).
Рис. 4.1
В соответствии с уравнением Бернулли
| .
| (4.1)
| Выделим в движущейся жидкости объём диаметром 2r и длиной l. Запишем уравнение равномерного движения выделенного объёма:
где Р1 = p1 pr2 – сила давления на сечение 1-1;
р2 = p2 pr2 – сила давления на сечение 2-2;
Т = 2prlt – сила трения, действующая на поверхности цилиндра;
t – касательное напряжение.
Подставим значения Р1, Р2, Т в (4.2):
| (p1 – p2) pr2 – 2prlt = 0.
| (4.3)
| Отсюда
| ,
| (4.4)
| где pтр = p1 – p2 – потеря давления между сечениями 1-1 и 2-2.
Таким образом, устанавливается закон распределения касательных напряжений по сечению потока. Закон этот линейный и свидетельствует о том, что в центре потока, когда r = 0, t = 0, а на стенке r = r0 , t = tmax = . Эпюра касательного напряжения показана на рис. 4.1.
4.2. Поле скоростей и потери напора при ламинарном
режиме движения жидкости
Для получения закона распределения скоростей по сечению потока запишем в соответствии с законом Ньютона
| .
| (4.5)
| Знак "минус" в правой части обусловлен тем, что скорость от центра к стенке убывает и, следовательно, градиент скорости имеет отрицательное значение. Приравниваем (4.4) и (4.5):
| .
| (4.6)
| Разделим переменные
| .
| (4.7)
| Возьмём интеграл
| .
| (4.8)
| Для нахождения постоянной интегрирования С зададимся граничными условиями. Такими условиями являются условия прилипания: при r = r0, v = 0 и, следовательно
| .
| (4.9)
| Отсюда получим закон распределения скоростей по сечению потока
| .
| (4.10)
| Уравнение (4.10) представляет собой параболоид вращения, т.е. при ламинарном режиме имеем параболический закон распределения скоростей. В центре трубопровода, когда r = 0 скорость имеет максимальное значение
| ,
| (4.11)
| а на стенке r = r0 скорость равна 0.
Применим полученный закон распределения скоростей для расчёта расхода. Рассмотрим элементарное кольцо толщиной dr. Расход жидкости через это кольцо (рис. 4.2)
| .
| (4.12)
| или, так как dF = 2prdr
| .
| (4.13)
|
Рис. 4.2
Возьмём интеграл по всему сечению трубопровода
| .
| (4.14)
| Найдём среднюю по сечению скорость
| .
| (4.15)
| Сравнив среднюю скорость с максимальной (4.11), убеждаемся, что .
Определим значение коэффициента l. Из (4.15) имеем
| .
|
| Умножим правую часть и разделим на 2vcp, Кроме того запишем ртр = rghтр, следовательно
| .
| (4.16)
| Или, помня, что, m/r=u, а d0=2r0, получим
| .
| (4.17)
| Если сравнить (4.17) с общей формулой для расчёта потерь по длине
убеждаемся, что для ламинарного режима
| .
| (4.18)
| Зная закон распределения скоростей легко получить значение коэффициента a для ламинарного режима
| .
| (4.19)
| Обозначим , тогда
| .
| (4.20)
| Итак, полученная кинетическая энергия ламинарного потока с параболическим распределением скоростей в два раза превышает кинетическую энергию, подсчитанную по средней скорости.
Изложенная теория хорошо подтверждается опытом, за исключением следующих случаев:
1. при течении на начальном участке трубы, где формируется поле скоростей;
2. при течении со значительным теплообменом, так как неизотермичностъ существенно искажает поле скоростей.
Глава 5. Турбулентное движение жидкости
5.1. Природа потерь при турбулентном движении
Турбулентный режим движения жидкости наиболее часто встречается в природе и технике и отличается чрезвычайной сложностью происходящих в нём процессов. Естественно, что сложность процессов не позволяет разработать строгую теорию турбулентного движения. При теоретическом анализе вводятся разного рода упрощённые модели, а результаты теоретических расчётов уточняются путём сопоставления их с результатами экспериментов.
Бесспорным является факт интенсивного перемешивания частиц жидкости. Если поместить в турбулентный поток весьма чувствительный прибор для измерения скорости, то окажется, что в данной точке скорости будут постоянно меняться (рис.5.I) с течением времени.
Траектории частиц, проходящих через данную точку, представляют собой кривые различной формы. Таким образом турбулентное течение является неустановившимся. В силу того, что происходит непрерывное перемешивание жидкости и непрерывный обмен количествами движения между соседними слоями, закон трения Ньютона здесь неприменим, а касательные напряжения значительно больше, чем в ламинарном режиме.
В результате интенсивного перемешивания поле скоростей существенно отличается от ламинарного (рис.5.2). Для облегчения решения ряда задач вводится понятие осреднённой за время t скорости . Аналитически осреднённая скорость равна
| .
| (5.1)
| Истинная скорость v в данной точке пространства в данное мгновение может быть представлена суммой осреднённой скорости и, так называемой, пульсационной скорости
| .
| (5.2)
| Будем считать, что если не меняется с течением времени, то движение будет квазиустановившимся, а эпюра скоростей на рис.5.2 построена для осреднённой скорости.
5.2. Поле скоростей при турбулентном движении.
Структура турбулентного потока в цилиндрической трубе
Анализируя поле скоростей (рис.5.2) при турбулентном движении видим, что по сечению потока наблюдается разный характер изменения скорости. Вблизи стенок скорость нарастает весьма интенсивно, а в центре трубопровода скорости меняются незначительно.
Так как у самых стенок скорости движения жидкости равны нулю, а вблизи стенок малы, то в этой области поток движемся по законам ламинарного движении, образуя у стенки ламинарный подслой dл. Вслед за ламинарный подслоем идёт небольшой переходный слой, где происходит переход от ламинарного режима к турбулентному. Ламинарный подслой с переходным образуют так называемый пограничный слой. В центре же потока располагается турбулентное ядро (рис.5.3).
Рис. 5.3
Для понимания сути процессов, происходящих при движении жидкости в трубах, весьма важно иметь представление о гидравлически гладких и шероховатых трубах. Любая твёрдая поверхность, ограничивающая поток, имеет те или иные выступы шероховатости.
Их форма, расположение, величина, зависят от технологии изготовления трубопровода, материала, условий эксплуатации и т.д. В зависимости от соотношения толщины ламинарного подслоя dл и величины выступов поверхности стенок труб D (рис. 5.4), существуют трубы гидравлически гладкие dл > D и гидравлически шероховатые – dл < D:
Рис. 5.4
В первом случае все выступы шероховатости покрываются ламинарным подслоем. При этом потери напора по длине оказываются не зависящими от шероховатости стенок.
Во втором случае выступы не покрываются ламинарным подслоем, происходит обтекание их с отрывом струй, вихреобразованием. Потери напора здесь зависят от шероховатости.
Исследования показали, что понятие гладкие или шероховатые трубы – понятие относительное. Дело в том, что толщина ламинарного подслоя d уменьшается с увеличением числа Re в потоке. Поэтому одна и та же стенка в одних условиях может быть гладкой, а в других – шероховатой.
Ввиду сложности турбулентного движения и трудностей его аналитического исследования до настоящего времени не имеется достаточно строгой теории этого течения. Существуют разного рода полуэмпирические теории, построенные на основе упрощённых моделей потока, которые мы здесь рассматривать не будем.
В большинстве случаев для практических расчётов, связанных с турбулентным течением жидкости, в трубах, пользуются экспериментальными данными, систематизированными на основе гидродинамической теории подобия.
5.3. Потери на трение в трубопроводах. Опыты Никурадзе. График ВТИ
Потери на трение при турбулентном режиме определяются по формуле:
| .
| (5.3)
| Наиболее сложным является определение коэффициента l. В общем случае коэффициент l зависит от критерия Re, величины шероховатости стенок и характера шероховатости:
| ,
| (5.4)
| где D – средняя величина неровности стенок;
– относительная шероховатость;
A – параметр, учитывающий характер шероховатости.
Первые опыты по исследованию зависимости l от Re и для напорных трубопроводов с искусственной шероховатостью проведены в Геттингенском университете (1930 –1933 г.г.) Никурадзе.
Никурадзе определял величину коэффициента сопротивления по длине при движении различных жидкостей по трубам разного диаметра при разных относительных шероховатостях, полученных путём наклейки на стенки трубы однородных песчинок, и разных Re. Песчинки получали просеиванием песка через сита. Испытания были произведены при широком диапазоне относительных шероховатостей , а также Re = 500 ¸ 106. Результаты этих испытаний представлены на логарифмическом графике Ig100l от lgRe для ряда значений (рис. 5.5).
Рис. 5.5
Особый интерес представляет анализ графика Никурадзе. В графике можно выделить следующие характерные зоны: I зона – здесь l = f(Re). Это зона ламинарного режима движения жидкости и, как известно, коэффициент l зависит только от числа Re
| .
| (5.5)
| II зона. Это зона гидравлически гладких труб. Она простирается при 4000 £ Re £ 20 . Как указывалось выше, такое "поведение" труб имеет место в силу того, что ламинарный подслой перекрывает выступы шероховатости (d > D). Вихри, образующиеся на выступах шероховатости, гаснут в ламинарном слое и не попадают в турбулентное ядро.
III зона. Здесь . Пределы этой зоны определяются соотношением
| .
| (5.6)
| IV зона. Здесь l = f ( ) и не зависит от Rе. Она носит название квадратичной. В этой зоне ламинарный подслой настолько мал, что все выступы шероховатости оказываются в турбулентном ядре и именно это оказывает влияние на величину коэффициента l.
Сопротивление труб с естественной шероховатостью отличается от сопротивления труб с искусственной шероховатостью.
На рис. 5.6 приведён график, полученный во Всесоюзном теплотехническом институте для труб с естественной шероховатостью. Для натуральных труб закон изменения l от Rе получается несколько иным, без подъёма кривых после отклонения их от закона для гладких труб.
Рис. 5.6
Коэффициент l на графике дан в зависимости от Rе для разных значений , где кэ – абсолютная шероховатость, эквивалентная* зернистой шероховатости в опытах Никурадзе.
* Эквивалентная шероховатость - это такая высота выступов песчинок в опытах Никурадзе, которая создаёт сопротивление, равное действительному сопротивлению данного трубопровода. Значения кэ находят в гидравлических справочниках.
Такой постепенный переход объясняют тем, что в случае разнозернистой шероховатости: при увеличении Re, а следовательно, уменьшении толщины вязкого подслоя dл выступы шероховатости вступают в соприкосновение с турбулентным потоком не все одновременно, а сначала наиболее высокие, затем средние и только при числах Re, соответствующих квадратичной области сопротивления, вязкий подслой освобождает все выступы шероховатости,
5.4. Формулы для расчёта коэффициента l
При турбулентном режиме для определения коэффициента l в напорных трубопроводах используются либо графики, подобные рис. 5.6, либо эмпирические и полуэмпирические формулы. Эти формулы обычно рекомендуются для одной из соответствующих областей сопротивления. Следовательно, прежде чем выбрать для расчёта ту или иную формулу, необходимо установить область сопротивления, граничными условиями существования которой являются нижнее Re/пр и верхнее Re//пр предельные числа Рейнольдса.
Некоторые из формул и границы их применимости приведены в табл. 5.1.
Табл. 5,1
Зона сопротивления
| Режим течения
| Границы зоны
| Расчетные формулы
| I
| Ламинарный
| Re < 2300
| l =
| Универсальная формула Альтшуля
l = 0,11(кэ/d+68/Re)0,25
| II
| Турбулентный
Гладкостенный
| 4×103 < Re < 20
| l =
Блазиус
l = (1,8 lg Re –1,5)-2
Конаков
| III
| Турбулентный
Доквадратичный
| 20 < Re < 500
| l =
Альтшуль
| IV
| Турбулентный
Квадратичный
| Re > 500
| l =
Шифринсон
l = (1,74 + 2 lg )-2
Никурадзе
|
Глава 6. Местные гидравлические сопротивления
6.1. Коэффициент местного сопротивления. Понятие об эквивалентной длине
Потеря напора в местном сопротивлении рассчитывается по формуле:
| .
| (6.1)
| Опыт показывает, что коэффициент z зависит от формы местного сопротивления, величины его проходного сечения, шероховатости стенок, критерия Рейнольдса. Зависимость z от Re проявляется только при ламинарном режиме. При турбулентном режиме Re не влияет на величину коэффициента местного сопротивления.
Сложность процессов, происходящих в местных сопротивлениях, как правило, не позволяет теоретически рассчитать коэффициенты местных сопротивлений, поэтому приходиться находить их опытным путем. Для нахождения коэффициента z измеряются потери напора в местном сопротивлении, по расходу Q, который тоже измеряют, рассчитывают среднюю скорость и далее простым расчетом находят z.
Часто для упрощения расчетов длинных трубопроводов прибегают к приему замены местных сопротивлений так называемыми эквивалентными длинами и расчетный трубопровод считается прямым, но его длина больше действительной на величину эквивалентной длины
где l – длина участка;
lэ – эквивалентная длина.
Эквивалентную длину можно найти из следующих соображений. Потери в местном сопротивлении рассчитываются по формуле
| ,
|
| а потери по длине
| .
|
| Следовательно, если полагать, что потери в местном сопротивлении и эквивалентном участке прямой трубы одинаковы, то
|
| (6.3)
| и отсюда
| .
| (6.4)
| Таким образом рассчитываются эквивалентные длины для всех местных сопротивлений и по (6.2) находят общую длину, которую и закладывают в расчет потерь энергии в трубопроводе.
6.2. Внезапное и плавное расширение потока
Один из случаев, поддающийся теоретическому расчету – это часто встречающееся в практике внезапное расширение потока (рис. 6.1)
Рис. 6.1.
Поток срывается с угла и расширяется не внезапно, как русло, а постепенно. В результате в кольцевом пространстве между потоком и стенкой трубы образуется кольцевой вихрь, который и является причиной потери энергии. Кроме того здесь происходит явление сходное с ударом, т.е. частицы жидкости, вытекающие из трубы малого диаметра наталкиваются на частицы, имеющие меньшую скорость в трубе большего диаметра.
Выделим сечениями I-I и 2-2 – объем жидкости (рис. 6.1) отбросим мысленно окружающую жидкость, заменив её воздействие на выбранный отсек силами.
Будем полагать что:
1) Распределение скоростей в сечениях I-I и 2-2 равномерное.
2) Касательное напряжение на стенке трубы между сечениями равно 0 .
3) Давление р1, в сечении I-I действует по всей площади.
Запишем в соответствии с теоремой об изменении количества движения
| (p1–p2)F2=rQ(v1–v2).
| (6.5)
| Разделим левую и правую часть (6.5) на rgF2
| .
| (6.6)
| Для сечений I-I и 2-2 запишем уравнение Бернулли. Будем полагать, что плоскость сравнения проходит через ось трубы, и следовательно
тогда
| ,
| (6.7)
| или
| .
| (6.8)
| приравняем (6.6) и (6.8)
| ,
| (6.9)
| или
| .
| (6.10)
| В соответствии с уравнением неразрывности
или v1= v2F2/F1 и тогда
| .
| (6.12)
| Сравнивая (6.12) с общей формулой для расчета потерь энергии в местных сопротивлениях убеждаемся, что
| .
| (6.13)
| В том случае, когда F2 очень велика, что соответствует подводу жидкости по трубе к резервуару больших размеров и v2»0
| ,
| (6.14)
| а коэффициент z, отнесенный к скорости в трубопроводе v1, равен 1.
Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту:
©2015 - 2024 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.
|