СООТНОШЕНИЯ ЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ

Упругая твёрдая среда называется линейной и изотропной в том случае, если напряжения в ней линейно связаны с деформациями, а механические свойства среды не зависят от направления. В такой среде главные оси напряжений и деформаций совпадают. Связь между напряжениями и деформациями удобно записать в системе координат, связанной с главными осями:

, (5.3.1)

, (5.3.2)

, (5.3.3)

где упругие модули l и G (модуль сдвига) называются параметрами Ламе. Свойства среды таковы, что от действия компонент деформации e возникает напряжение (l+2G)e в том же направлении и напряжения le в других взаимно перпендикулярных направлениях:

, (5.3.4)

, (5.3.5)

, (5.3.6)

где Е (модуль Юнга, меняется для горных пород в пределах 10¸100 ГПа) и n (коэффициент Пуассона, меняется в пределах 0.1¸0.4) - материальные параметры среды. Главная компонента напряжения s создаёт деформацию s/E в направлении своего действия и деформации - ns/E в двух других взаимно перпендикулярных направлениях. Упругие свойства среды характеризуют, задавая l и G или E и n. Эти параметры не являются независимыми.

Одноосное напряжённое состояние. В этом случае отлично от нуля только одно главное напряжение, например, s₁. s₂ = s₃ = 0 , тогда

. (5.3.7)

Рис. 5.6. Деформация под действием одноосного сжатия

Отсюда видно, что напряжение s₁ вызывает не только деформацию e₁ в направлении своего действия, но и деформации в перпендикулярных направлениях e₂ и e₃. Если s₁ - напряжение сжатия, то e₁ - укорочение, а e₂ и e₃ - удлинения и наоборот.

Эти деформации показаны на рис. 5.6, где элемент dxdydz стал короче в направлении оси y, но толще в направлении осей х и z. В соответствии с равенствами (5.3.4) - (5.3.6)мы можем написать

(5.3.8)

Сравнивая это равенство с (5.3.7), получаем

. (5.3.9)

Из (5.3.1) и (5.3.7)находим

, (5.3.10)

совместно с (5.3.8) для модуля Юнга получаем

. (5.3.11)

С помощью (5.3.9) - (5.3.11) выражаем l и G через E и n:

, (5.3.12)

. (5.3.13)

В случае одноосного сжатия или растяжения соотношение (5.3.8) превращается в закон Гука:

(5.3.14)

Линейно-упругое тело называется иначе Гуковским телом.

Относительное изменение объёма (дилатация D) определяется в этом случае выражением

(5.3.15)

Из формулы видно, что уменьшение объёма, происходящее за счёт сокращения размера в направлении действия напряжения, компенсируется увеличением объёма за счёт расширения в перпендикулярных направлениях. Из выражения (5.3.15) можно определить коэффициент Пуассона для несжимаемой среды, объём которой не меняется под действием приложенного напряжения. Чтобы это реализовать, при одноосном сжатии n должно быть равно ½. Под действием одноосного сжатия несжимаемая среда сокращается в направлении приложенного напряжения и расширяется на величину, вдвое меньшую в каждом из перпендикулярных направлений.

Одноосная деформация. Состояние одноосной деформации характеризуется тем, что отличной от 0 является только одна главная компонента деформации, например, e₁.Тогда (5.3.1) - (5.3.3) дают

(5.3.16)

, (5.3.17)

а (5.3.4) - (5.3.6) упрощаются следующим образом:

, (5.3.18) . (5.3.19)

Рис. 5.7. Плоское напряжённое состояние

Плоское напряжённое состояние. Возникает тогда, когда имеется только одно нулевое главное напряжение, например, s₃ = 0,s₂ ¹ 0,s₁¹ 0. Тонкая пластина нагружена с боков. Определим компоненты деформации (5.3.4) - (5.3.6)

, (5.3.20)

, (5.3.21)

. (5.3.22)

Плоская деформация. В этом случае равна нулю только одна главная деформация, например, e₃ = 0.

Рис. 10. Пример плоской деформации

На (рис.5.7) длинная балка жёстко зажата между двумя стенками, которые не позволяют ей расширяться или сжиматься в продольном направлении. Кроме того, вдоль всей длины на балку действуют равномерно распределённые напряжения s₁и s_2. (5.3.1)-(5.3.3) в этом случае становятся:

s₁ = (l + 2G)e₁ + le₂; s₂ = le₁ + (l + 2G)e₂; s₃ = l(e₁ + e₂).

Из равенства (5.3.6) следует s₃ = n(s₁ + s₂ ),что совместно с (5.3.7) и (5.3.9) даёт

.

ОСНОВЫ ГИДРОДИНАМИКИ

ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ

Задачи гидродинамики делятся на два основных класса: внутренние и внешние.

К внешним задачам относятся задачи обтекания тела потоками жидкости или газа, или о движении тела в жидкой или газообразной среде. Внешними задачами являются задачи, связанные с полётами самолётов, снарядов и других тел, движущихся в атмосфере.

Внутренние задачи занимаются движением жидкости в каналах. В этот класс задач входят такие, как:

1. течение жидкостей в трубопроводах (водопровод, газо-и нефтепроводы, кровеносная система, тепло и газоснабжение);

2. течение воды в открытых каналах и реках (ирригационные и осушительные системы, расчёт паводков, судопропускные сооружения и т.д.).

При решении внешней задачи основной акцент делается на определение силового взаимодействия потока и тела. Определение силы, действующей со стороны набегающего потока, или силы сопротивления движению тела в жидкости - цель таких задач. Поэтому при анализе и решении внешних задач, как правило, используются уравнения, выражающие закон изменения количества движения: дифференциальные уравнения Навье - Стокса или Рейнольдса, а также интегральные формы этого закона.

При решении внутренней задачи чаще всего стараются определить потери энергии в потоке жидкости. Здесь используются уравнения, выражающие закон изменения энергии, чаще всего в виде различных форм уравнения Бернулли.

В основе гидродинамики, как части гидромеханики, положены три основных закона механики:

I. закон сохранения массы;

II. закон сохранения количества движения (импульса);

III. закон сохранения энергии.

Эти законы формулируются для конечных объёмов (размеры ограничены и оговорены). В МСС используются два подхода к описанию движения сплошной среды: Лагранжев и Эйлеров. Соответственно при Лагранжевом подходе используется движующиеся (материальные, индивидуальные) объемы , состоящая при всех t из одних и тех же частиц, граница которых непроницаема. При втором подходе – неподвижные объемы с проницаемой границей . Далее будем использовать первый подход.

Законы гидродинамики для конечных объёмов часто упрощаются с учётом конкретных условий на поверхностях, ограничивающих данный объём. Такие упрощенные уравнения используются в разделе, называемом гидравликой. По сути, это теоретические основы технической механики жидкости. Они особенно эффективны, когда исследуются интегральные (осреднённые по времени и пространству) гидромеханические характеристики потоков.

В том случае, когда есть необходимость определять гидромеханические характеристики и величины в каждой точке объёма жидкости, используют дифференциальные уравнения. Они тоже являются фундаментальными законами механики, но относятся к точке сплошной среды. Если эти уравнения дополнить каким-либо реологическим законом, то можно определить структуру поля скорости и напряжённое состояние в любой точке потока жидкости.

Практическое использование этих уравнений, в зависимости от изложенных здесь подходов, преобразуется из одного вида в другой с помощью теоремы Остроградского - Гаусса. Так при выводе гидравлических уравнений объёмные интегралы заменяются на поверхностные с тем, чтобы использовать особенности условий на поверхностях, ограничивающих поток, для упрощения уравнений. При выводе дифференциальных уравнений, наоборот, поверхностные интегралы заменяются на объёмные, чтобы можно было исследовать гидромеханические величины в точках внутри потока. При этом условия на границах потока вводятся как граничные или краевые условия для дифференциальных уравнений.

ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ МАССЫ

Выделим в пространстве контрольный материальный объём , ограниченный произвольной контрольной поверхностью . Пусть плотность жидкости в каждой точке пространства задана - плотность.

Масса бесконечно малого объёма , в момент времени t равна . Масса объёма жидкости, находящейся внутри замкнутой поверхности , равна:

. (6.2.1)

Согласно закону сохранения массы, при движении жидкого объёма его масса остаётся неизменной. Изменение во времени гидромеханической характеристики, относящейся к движущемуся жидкому объёму, который содержится в начальный момент внутри контрольной поверхности , выражается в виде субстанциональной производной от этой характеристики. Представим закон сохранения массы, используя эту производную в виде:

. . (6.2.2)

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: