Сделай Сам Свою Работу на 5

II.1. Параллельные прямые по Лобачевскому





Элементы геометрии Лобачевского

 

I. «Начала» Евклида. Пятый постулат Евклида

 

Евклид (330-275 г.г. до н.э.) «Начала»

13 книг: 1-4, 6 книги - планиметрия; 11-13 книги - стереометрия; остальные - арифметика в геометрическом изложении.

В каждой книге: понятия; постулаты; аксиомы; предложения (теоремы и задачи на построение).

 

Примеры:

Определение 1: Точка есть то, что не имеет частей.

Определение 2: Линия есть длина без ширины.

Определение 3: Прямая есть такая линия, которая одинаково расположена по отношению ко всем своим точкам.

Постулат I: Требуется, чтобы от каждой точки ко всякой другой точке можно было провести прямую.

Постулат IV: Все прямые углы являются равными друг другу.

Постулат V: Требуется, чтобы всякий раз, когда прямая при пересечении с двумя другими прямыми образует с ними внутренние односторонние углы, сумма которых меньше двух прямых, эти прямые пересекались с той стороны, с которой эта сумма меньше двух прямых.

 

Утверждения, с помощью которых можно было бы доказать V постулат Евклида:

1. Все перпендикуляры к одной стороне некоторого острого угла пересекают его другую сторону.



2. Существуют подобные и неравные треугольники.

3. Существуют треугольники сколь угодно большой площади.

4. Существуют треугольники с суммой углов, равной двум прямым.

5. Через точку вне данной прямой можно провести не более одной прямой, ей параллельной.

Многие геометры заменяли V постулат Евклида его отрицанием или утверждением, эквивалентным отрицанию V постулата.

Саккери Джироламо (1667-1733 г.г.) - итальянский математик, создатель первого наброска неевклидовой геометрии.

Ламберт Иоганн Генрих (1728-1777 г.г.) - физик , философ, математик.

Лежа́ндр Адриен Мари (1752-1833 г.г.) - французский математик.

Лобачевский Николай Иванович (1792-1856 г.г.) - русский математик, создатель неевклидовой геометрии (1826 г.).

Бо́йяи Я́нош (1802-1860) - венгерский математик, один из первооткрывателей неевклидовой геометрии (называемой теперь геометрией Лобачевского).

 

Поддержали работу Лобачевского:

Га́усс Иоганн Карл Фри́дрих (1777-1855) - немецкий математик, астроном и физик.

Бельтра́ми Эудженио (1835-1900) - итальянский математик. Сыграл значительную роль в признании неевклидовой геометрии.



Пуанкаре́ Жюль Анри́ (1854-1912) - французский математик, физик, астроном и философ.

Клейн Феликс Христиан (1849-1925) - немецкий математик и педагог.

 

II. Геометрия (планиметрия) Лобачевского

II.1. Параллельные прямые по Лобачевскому

 

Аксиоматика планиметрии Лобачевского отличается от аксиоматики планиметрии Евклида лишь одной аксиомой: аксиома параллельности заменяется на ее отрицание – аксиому параллельности Лобачевского.

Аксиома параллельности Лобачевского (АПЛ):Пусть a - произвольная прямая, A - точка, не лежащая на прямой a. Тогда в плоскости, определяемой точкой A и прямой a, существует не менее двух прямых, проходящих через A и не пересекающих прямую a.

 

Для иллюстрации аксиомы о параллельности прямых рассмотрим следующую схему:

Имея прямую a и точку A вне ее, соединяем A с точкой P, лежащей на a, и отодвигаем точку P в положение P', P'', ... и все дальше, и дальше на a (иными словами, представляется последовательность точек P, P', P'', ... или соответственно последовательность прямых AP, AP', AP'', ...). Прямая AP при этом вращается вокруг A и достигнет некоторого предельного положения, когда P удалится в бесконечность, и эту предельную прямую и надо понимать как прямую, параллельную прямой a, проходящую через A.

При этом нет никаких изначальных соображений, в силу которых прямая AP должна приближаться к одному и тому же предельному положению при удалении P в бесконечность как в одну, так и в другую сторону, что дает абстрактную возможность существования двух различных прямых, проходящих через A, параллельных прямой a. В этой связи постулат параллельных прямых в евклидовой геометрии – не что иное, как соглашение о том, что эти два предельных положения должны совпадать, и через точку A должна проходить только одна прямая, параллельная прямой a.



 

ДОКАЖИТЕ:

Следствие АПЛ:Пусть a - произвольная прямая, A - точка, не лежащая на прямой a. Тогда в плоскости, определяемой точкой A и прямой a, существует бесконечное множество прямых, проходящих через A и не пересекающих прямую a.

Замечание:В отличие от геометрии Евклида в геометрии Лобачевского параллельными к данной прямой называются только некоторые прямые из тех, которые не пересекают данную прямую.

 

Условимся считать: все рассматриваемые прямые являются направленными прямыми. Если прямая обозначена буквами AB, то A предшествует B. Рассматриваемые нами точки на этой прямой лежат между точками A и B (так выбираем эти точки).

 

Определение: Прямая AB называется параллельной прямой CD, если эти прямые не имеют общих точек и для любых точек P и Q, лежащих соответственно на прямых AB и CD, любой внутренний луч (с вершиной - в вершине угла, целиком принадлежащий внутренней части угла) угла QPB пересекает луч QD.

 

Теорема 1 (признак параллельности прямых): Если прямые AB и CD не имеют общих точек и существуют точки P и Q, такие, что PÎAB, QÎCD, и любой внутренний луч угла QPB пересекает луч QD, то AB || CD.

Доказательство:Для доказательства достаточно установить, что для любых точек P¢ÎAB, Q¢ÎCD, удовлетворяющих условию теоремы, любой внутренний луч h угла Q¢P¢B пересекает луч Q¢D.

 

Рассмотрим случаи:

 

1) P¢ = P, Q¢ - точка луча QC.

Угол Q¢P¢B является объединением углов Q¢PQ и QPB, следовательно, луч h либо лежит внутри угла Q¢P¢Q, либо совпадает с лучом PQ, либо лежит внутри угла QPB. В первом и во втором случаях луч h пересекает отрезок Q¢Q, т.е. пересекает луч Q¢D. В третьем случае луч h по условию теоремы пересекает луч QD, следовательно, пересекает луч Q¢D.

 

2) P¢ = P, Q¢ - точка луча QD.

Угол Q¢P¢B является частью угла QPB, т.е. луч h лежит внутри угла QPB, следовательно, по условию теоремы h пересекает луч QD.

Луч h не проходит внутри угла QPQ¢, т.е. не пересекает отрезок Q¢Q, следовательно, пересекает луч Q¢D.

 

 

3) P¢ - точка луча PA.

Луч h лежит внутри угла Q¢P¢B = Q¢P¢P. Пусть h пересекает отрезок PQ¢ в точке M. Отложим от луча PB в полуплоскость, содержащую прямую CD, угол BPM¢, равный PP¢M. Так как BPQ¢ - внешний угол DPP¢Q¢, то ÐPP¢Q¢ меньше ÐBPQ¢, т.е. ÐPP¢M меньше ÐBPQ¢. Следовательно, PM¢ - внутренний луч угла BPQ¢, т.е. по доказанному в пункте 1 этот луч пересекает луч Q¢D в точке M1.

Прямая P¢M пересекает сторону PQ¢ треугольника PQ¢M1, следовательно, по аксиоме Паша прямая P¢M пересекает отрезок Q¢M1, т.е. луч h пересекает луч Q¢D.

 

4) P¢ - точка луча PB (аналогично п.3)

 

 

Теорема 2 (о существовании параллельных прямых по Лобачевскому): Пусть AB - произвольная направленная прямая, M - точка, не лежащая на прямой AB. Тогда в плоскости MAB существует одна и только одна прямая CD, проходящая через точку M и параллельная прямой AB, т.е. CD || AB.

Доказательство:

I. Существование.

Проведем MN - перпендикуляр к прямой AB, MP - перпендикуляр к прямой MN, причем P и B лежат по одну сторону от прямой MN. Так как рассматриваются два прямых угла, то прямые MP и NB не пересекаются.

Рассмотрим отрезок NP.

 

 

Разобьем его на два класса K1 и K2 по закону:

· К классу K1 отнесем те точки X отрезка NP, для которых луч MX пересекает луч NB.

· К классу K2 отнесем все остальные точки отрезка NP.

 

 








Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту:



©2015 - 2024 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.