Сила давления жидкости на плоские и криволинейные стенки.

Дифференциальные уравнения равновесия жидкостей (Эйлера).

P-1/2 dx , P+1/2 dx

dP’x=(p-1/2 dx)dydz;

dP’’x=( P+1/2 dx)dydz;

dM=dmj=ρdVj=ρdxdydzj;

dP’x-dP’’x+dM=0

(p-1/2 dx)dydz-( P+1/2 dx)dydz+ρdxdydzX=0

Pdydz-1/2 dxdydz-pdydz-1/2 dxdydz+ρdxdydzX=0; X,Y,Z –ускорения

Ур-ие Эйлера = ρX; = ρY; = ρZ

Из этих уравнений видно, что гидростатистическое приращение давления в направлении какой-либо координатной оси возможно только при наличии ускорения в направлении этой же оси и происходит за счет массовых сил: dx= ρXdx; dy= ρYdy; dz= ρZdz; X,Y,Z –ускорения

Дифф. Ур-ие равновесия жид-тей (Эйлера) dx+ dy+ dz= ρ(Xdx+Ydy+Zdz)

Выражает функциональную зависимость давления от рода жидкости и координат точки в пространстве и позволяет определить значение давления в любой точке жидкости.

Уравнение поверхности, равного давлению. P=const, dp=0

Xdx+Ydy+Zdz=0

1 случай.Жид-ть нах-ся в равновесии в резервуаре в поле действия только силы тяжести. В этом случае проекции результирующей еденичных массовых сил будут след: X=0, Y=0, Z= -g.

Подставляя данные значения в уравнение поверхности равного давления получим: -gdz=0, или после интегрирования: gz=const. Это уравнение горизонтальной плоскости. Следовательно, в покоящейся жидеости любая горизонтальная плоскость явл-ся плоскостью равного давления.

Случай.

В этом случае любая частица жид-ти нах-ся под действием ускорений а и g, следовательно проекции результирующей еденичных массовых сил будут след: X=-a; Y=0; Z=-g; -adx-gdz=0;

Или после интегрирования: ax+gz=const. Это уравнение наклонной плоскости. Угол наклона к горизонту β=arctg (a/g)

Случай.

X= x; = y; Z=-g.

xdx+ ydy-gdz=0 после интегрирования: х²/2+ у²/2-gz=const.

Это уравнение парабалоида вращения. Пов-ти равного давления представляют собой семейство парабалоидов вращения , расположенных вокруг вертик.оси.

Основное уравнение гидростатики

dp= (xdx+ydy+zdz)

dp= - zdz

dp= - gdz

после интерирования получаем:

p= - gz+C

Для определения пост. Интегрирования задаемся начальными условиями. Точка А на свобод.поверхности жидкости Z=z₀ p=p₀; P₀= - gz₀+C; C= p₀+ gz₀_;P= - +p₀₊ gz₀;

P=p₀+

Основное уравнение гидростатики выражает зависимость точки покоящейся жидкости от рода жидкости и расстояния точки от своболной поверхности. р- абсолют. Давление в данной точке жидкости ,р₀- давление окруж.среды - избыточное давление или давление столба жидкости в данной точке.

Монометрическое и вакуум.давление в открытых сосудах и водоемах

Р=р_а+ , -если абсолют.давление в точке атмосф. - мономет.давление- избыток абсолютного давления над атмосферным; -абсолют давление р_а - -вакуум.давленение – недостаток давление до атмосфер.

Закон Паскаля- абсолют. Давления в точках жидкости,находящиеся на разн.глубинах будут различны,однако внешнее давление на жидкость,заключ. В замкнутом сосуде передается всем ее частицам без изменения.

Р₁Р₂

d₁ d₂

p₁= p₂=

Cообщающиеся сосуды

P=p₁+ gh₁

P=p₂+ gh₂

Сила давления жидкости на плоские и криволинейные стенки.

C-центр тяжести, D –центр давления

Для такой бесконечно малой площади давление во всех ее точках одинаково и равно:

· Сила давления жидкости на элементарную площадку:

· Cила давления на всю рассматриваемую площадь F:

– статический момент

Следовательно

Сила давления на плоскую стенку равна произведению смоченной жидкостью площади фигуры на гидростатическое давление на ее центр тяжести:

- это расстояние от центра тяжести рассматриваемой площадки до свободной поверхности.

Если на свободную поверхность действует давления, отличные от атмосферного, силу давления на стенку можно найти по формулам:

Где , – вакууметрическое давление

- манометрическое давление

Центр давления лежит всегда ниже центра тяжести.

В соответствии с теоремой Вариньона о моменте равнодействующей(момент равнодействующей силы относительно какой-либо оси равен сумме моментов соответствующих сил относительно той же оси)

Заменив в последнем выражении Р и dP их значениями, получим:

Момент инерции относительно оси Х , который может быть выражен через момент инерции относительно центральной оси, параллельной оси Х

- от центра давления до свободной поверхности.

Центр давоения жидкости совпадает с центром тяжести в случае когда мы рассматриваем горизонтальное дно:

Гидростатический парадокс.

Из этого рисунка видно, что различной формы сосуды, имеющие одинаковые площади доньев и заполненные одинаковой жидкостью на одну и ту же высоту, будут иметь одинаковую силу давления на дно не зависимо от формы сосуда и количества находящейся в нем жидкости.(гидростатический парадокс) D=C