Сделай Сам Свою Работу на 5

Сложение и умножение вероятностей





Литература

1. Гмурман, В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика: Учеб. пособие для вузов / В. Е. Гмурман. – 9-е изд., стер. – М.: Высш. шк., 2003. – 479 с.

2. Насыров, Ф.С. Девять лекций по теории вероятностей: учеб. пособие / Ф.С. Насыров; Уфимск. гос. авиац. техн. ун-т. – Уфа УГАТУ, 2006. – 63 с.

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Эксперимент, результат которого нельзя предсказать, называется случайным. Теория вероятностей изучает случайные эксперименты и события, для которых справедлив принцип статистической устойчивости:

Относительная частота появления случайного события в последовательности повторяемых независимым образом в одних и тех же условиях экспериментов приближается к некоторому числу при росте числа экспериментов.

Результат каждого эксперимента (испытания) будем называть событием. Обозначают события обычно заглавными латинскими буквами

Достоверным называют событие, которое обязательно произойдет при осуществлении некоторой совокупности условий. Обозначение: .

Невозможным называют событие, которое заведомо не произойдет при осуществлении некоторой совокупности условий. Обозначение: .



Случайным называют событие, которое при осуществлении некоторой совокупности условий может либо произойти, либо не произойти.

Глава 1. СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ

Основные понятия

Классическое определение вероятности

События называют несовместными, если появление одного из них исключает появление другого в одном и том же испытании.

События называют равновозможными, если ни одно из них не является более возможным, чем другое.

Несколько событий образуют полную группу, если в результате испытания появится хотя бы одно из них.

Вероятность есть число, характеризующее степень возможности появления события.

Каждый из возможных результатов испытания называется элементарным исходом (элементарным событием). Элементарные исходы, в которых событие наступает, называются благоприятствующими событию .

Определение. Вероятностью события называют отношение числа благоприятствующих событию элементарных исходов к общему числу всех равновозможных несовместных элементарных исходов, образующих полную группу.



Итак, вероятность события определяется формулой

,

где – число благоприятствующих событию исходов, – число всех возможных исходов.

, .

Так как , то

.

Относительная частота и статистическая вероятность

Относительной частотой события называют отношение числа испытаний, в которых событие появилось, к общему числу фактически произведенных испытаний.

,

где – число появлений события , – общее число испытаний.

Число, о котором говорится в принципе статистической устойчивости, есть вероятность.

Чем больше испытаний, тем меньше отличается от .

Пример.

Число бросаний монеты Число появлений герба Относительная частота
0,5069
0,5016
0,5005

Геометрическая вероятность

  1. Пусть дан отрезок – часть отрезка . На отрезок наудачу поставлена точка. Вероятность попадания точки на отрезок равна

.

Пример. На отрезке длиной 10 см отметили точку . Какова вероятность того, что длина отрезка меньше 4 см?

  1. Пусть плоская фигура – часть плоской фигуры . На фигуру наудачу брошена точка. Вероятность попадания точки на фигуру равна

.

Пример. Внутрь квадрата со стороной 1 брошена точка. Какова вероятность того, что точка окажется в круге, вписанном в квадрат?

Основные понятия комбинаторики

Комбинаторикараздел математики, изучающий способы подсчета числа элементов в конечных множествах.

Пусть .

1. Система подмножеств множества

Пример. .

, , , , , , , .●

Число подмножеств равно .

2. Размещение элементов из по k – упорядоченное подмножество из k элементов, принадлежащих .



Пример. , .

, , , , , .

Число размещений равно .

3. Перестановки элементов множества – упорядоченные подмножества из п элементов множества .

Пример. .

, , , , , .

Число перестановок равно .

4. Сочетание элементов из по k – неупорядоченное подмножество из k элементов, принадлежащих .

Пример. , .

, , .

Число сочетаний равно .

5. Разбиение множества – неупорядоченная система из непустых подмножеств множества , обладающая свойствами:

1) ,

2) .

Правило произведения. Если объект может быть выбран способами и после каждого из таких выборов объект , в свою очередь, может быть выбран способами, то выбор « и » в указанном порядке может быть осуществлен способами.

Правило суммы. Если объект может быть выбран способами, а объект – другими способами при условии, что одновременный выбор и невозможен, то выбор « или » можно осуществить способами.

Сложение и умножение вероятностей

 








Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту:



©2015 - 2024 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.