Сделай Сам Свою Работу на 5

Что называется порядком комбинационного колебания? Поясните примером.





Комбинационные колебания, колебания, возникающие при воздействии на нелинейную систему двух или большего числа гармонических колебаний с различными частотами составляющих. Частоты комбинационных колебаний выражаются через суммы или разности частот каждой пары, воздействующих на систему колебаний или их составляющих. В простейшем случае, когда на систему действуют два колебания с частотами ω1 иω2, спектр вынужденных колебаний содержит составляющие с частотами ω=1 ± nω2, где m и n - целые числа.

Возникновение комбинационных колебаний лежит в основе большинства методов преобразования частоты - модуляции, детектирования, получения промежуточной частоты. Комбинационные колебания могут возникнуть также в линейной системе, если какой-либо из её параметров периодически меняется. В этом случае даже при воздействии одного гармонического колебания могут возникнуть комбинационные колебания с частотой, соответствующей линейной комбинации двух частот: воздействующей и частоты изменения параметра.

Так называется метод, применяемый для приема на слух радиотелеграфных сигналов. На вход нелинейного устройства подается сумма колебания



u = A[1 + f(t)]cosωt,

приходящего от передатчика, и колебания

uo=Aocosωot,

создаваемого местным маломощным ламповым генератором (так называемым гетеродином). Подобрав частоту его так, чтобы разностная частота |ω-ω0| была слышимой, мы будем слышать в телефоне прерыви

стый свист. Телеграфным «точкам» соответствуют короткие свистки, «тире» - более длинные.

Какова связь между наивысшим порядком комбинационного колебания и степенью полинома, аппроксимирующего характеристику нелинейного элемента?

 

При анализе нелинейных цепей (НЦ) обычно не рассматривают процессы, происходящие внутри элементов, составляющих эту цепь, а ограничиваются лишь внешними их характеристиками. Обычно это зависимость выходного тока от приложенного входного напряжения, которую принято называть вольт-амперной характеристикой (ВАХ).

Самое простое – использовать имеющуюся табличную форму ВАХ для численных расчетов. Если же анализ цепи должен проводиться аналитическими методами, то возникает задача подбора такого математического выражения, которое отражало бы все важнейшие особенности экспериментально снятой характеристики.



Это не что иное, как задача аппроксимации. При этом выбор аппроксимирующего выражения определяется как характером нелинейности, так и используемыми расчетными методами.

Реальные характеристики имеют достаточно сложный вид. Это затрудняет их точное математическое описание. Кроме того, табличная форма представления ВАХ делает характеристики дискретными. В промежутках между этими точками значения ВАХ неизвестны. Прежде чем переходить к аппроксимации, необходимо как-то определиться с неизвестными значениями ВАХ, сделать ее непрерывной. Тут возникает задача интерполяции (от лат. inter
– между, polio
– приглаживаю) – это отыскание промежуточных значений функции по некоторым известным ее значениям. Например, отыскание значений в точках лежащих между точками по известным значениям. Если, то аналогичная процедура носит задачи экстраполяции.

Обычно аппроксимируют лишь ту часть характеристики, которая является рабочей областью, т. е. в пределах изменения амплитуды входного сигнала.

При аппроксимации вольт-амперных характеристик необходимо решить две задачи: выбрать определенную аппроксимирующую функцию и определить соответствующие коэффициенты. Функция должна быть простой и в то же время достаточно точно передавать аппроксимируемую характеристику. Определение коэффициентов аппроксимирующих функций осуществляется методами интерполяции, среднеквадратичного или равномерного приближения, которые рассматриваются в математике.



Математически постановка задачи интерполяции может быть сформулирована следующим образом.

Найти многочлен степени не больше n
такой, что i
= 0, 1, …, n
, если известны значения исходной функции в фиксированных точках , i
= 0, 1, …, n
. Доказывается, что всегда существует только один интерполяционный многочлен, который может быть представлен в различных формах, например в форме Лагранжа или Ньютона. (Рассмотреть самостоятельно на самоподготовке по рекомендованной литературе).

 

Аппроксимация степенными полиномами и кусочно-линейная

Она основана на использовании хорошо известных из курса высшей математики рядов Тейлора и Маклорена и заключается в разложении нелинейной ВАХ в бесконечномерный ряд, сходящийся в некоторой окрестности рабочей точки. Поскольку такой ряд физически не реализуем, приходится ограничивать число членов ряда, исходя из требуемой точности. Степенная аппроксимация применяется при относительно малом изменении амплитуды воздействия относительно. Напряжение определяет положение рабочей точки и, следовательно, статический режим работы НЭ.

Обычно аппроксимируется не вся характеристика НЭ, а лишь рабочая область, размер которой определяется амплитудой входного сигнала, а положение на характеристике – величиной постоянного смещения.
Аппроксимация степенным полиномом заключается в нахождении коэффициентов ряда. При заданной форме ВАХ эти коэффициенты существенно зависят от выбора рабочей точки, а также от ширины используемого участка характеристики. В этой связи целесообразно рассмотреть некоторые наиболее типичные и важные для практики случаи.

Участок на характеристике, где закон изменения тока близок к линейному, относительно неширок, поэтому амплитуда входного напряжения не должна выходить за пределы этого участка

Этот случай применим только при слабом сигнале , поскольку в этом случае можно без большой погрешности пренебречь нелинейностью ВАХ.

При небольшом изменении амплитуды входного сигнала относительно можно с малой погрешностью аппроксимировать ВАХ квадратичной параболой (степенным полиномом второго порядка).

В общем случае аппроксимирующий полином может быть любого, сколь угодно высокого порядка. Рабочий участок ВАХ (динамический диапазон) определяется интервалом . На границах этого интервала производные аппроксимирующей функции обращаются в нуль.

При очень больших амплитудах входного сигнала часто бывает удобнее заменять реальную характеристику идеализированной, составленной из отрезков прямых линий. Такое представление ВАХ называется кусочно-линейной аппроксимацией.

Этот метод используется в тех случаях, когда отсутствует отсечка тока. Этот метод известен под названием трех (пяти, семи) ординат.

Ток через НЭ будет представлять собой периодическое колебание сложной формы.

В реальных исследованиях приходится ограничивать число членов ряда, а для определения амплитуд используются вышеназванные методы. Практически наиболее часто применяются методы трех и пяти ординат.

Суть метода заключается в следующем: ВАХ нелинейного элемента делится на три (пять) участка, точки 1, 3, 5 или 1, 2, 3, 4, 5, при этом фиксируются значения входного и выходного сигналов. Затем составляется система из трех (пяти) уравнений для токов и решается относительно неизвестных и т. д.

 

Перечислите наиболее часто применяемые методы спектрального анализа колебаний на выходе безынерционных нелинейных преобразователей. Укажите, при каких видах аппроксимации целесообразно применять каждый из них.

Этот метод является основным при использовании полиномиальной аппроксимации и особенно удобен для выявления принципа действия и основных особенностей таких устройств, как модуляторы, детекторы, преобразователи частоты, делители частоты и т. п.

Сначала рассмотрим воздействие на нелинейный резистивный элемент, характеристика которого аппроксимирована полиномой степени:

, получаем

Для представления правой части в виде суммы синусоидальных компонент воспользуемся известными тригонометрическими формулами, позволяющими заменить степени косинусов (или синусов) через тригонометрические функции кратных аргументов (отсюда название метода)

полагая

Осуществление такой подстановки и последующее суммирование коэффициентов при косинусах одинаковых аргументов позволяет записать как:

где

построен спектр выходного и отмечены амплитуды спектральных компонент.

Из сравнения выражений следует:

1. Спектр отклика нелинейного элемента при воздействии на него гармонического сигнала оказывается линейчатым, содержащим ряд составляющих с частотами, кратными частоте входного сигнала. Наивысший номер составляющей спектра равен степени используемого полинома. Поэтому, если для какого-то применения нелинейного элемента необходимо знать амплитуду гармоники отклика, вольт-амперная характеристика элемента должна быть аппроксимирована полиномом порядка не ниже.

2. Постоянная составляющая отклика и амплитуды четных гармоник определяются только четными степенями напряжения в полиноме, а нечетных гармоник — только нечетными.

3. Текущая фаза гармоники отклика с частотой раз больше значения текущей фазы воздействующего сигнала:

Начальные фазы связаны соотношением

При воздействии бигармонического напряжения на нелинейный элемент, аппроксимируемый полиномом,

Раскрываем скобки в правой части используя в случае высоких степеней бином Ньютона, после чего с помощью тригонометрических формул представляем правую часть в виде суммы гармонических составляющих различных частот.

Под каждым слагаемым записаны частоты, получающиеся при замене степеней и произведений косинусов суммой гармонических

составляющих на основании соотношений и известного тригонометрического выражения

Комбинационные частоты возникают в нелинейных цепях только в случае одновременного воздействия на них двух или большего числа гармонических колебаний. Комбинационные частоты принято характеризовать их порядком определяемым суммой коэффициентов:

Простейшими являются комбинационные частоты второго порядка В случае в отклике содержатся комбинационные частоты второго и третьего порядков.

Если отношение частот не может быть представлено в виде отношения небольших целых чисел (случай асинхронных воздействий), то все гармоники и колебания комбинационных частот образуют различные частотные компоненты. В частности, первая гармоника тока частоты может быть записана как — е. она совпадает по фазе с воздействующим напряжением этой частоты.

Положение меняется, если отношение частот может быть выражено отношением небольшим целых чисел (случай синхронных воздействий)

Где, В этом случае ток может содержать несколько компонент одной и той же частоты с различными фазами. В качестве примера рассмотрим воздействие бигармонического колебания

на нелинейный элемент, описываемый полиномом второй степени

Подставляя, легко установить, что теперь первая гармоника тока частоты состоит из двух компонент:

из которых вторая является следствием возникновения комбинационной частоты второго порядка.

следует

имеет место сдвиг фаз между первой гармоникой тока частоты и воздействующим напряжением той же частоты; это означает, что резистивный нелинейный элемент по отношению к воздействию частоты обладает комплексной средней крутизной или

величина сдвига фаз и амплитуды а значит, и величины активной и реактивной компонент средней крутизны зависят от амплитуды и фазы второго колебания (второй гармоники

Обогащение спектра отклика по сравнению со спектром воздействия происходит и в нелинейных реактивных цепях. Так, если на нелинейную дифференциальную емкость, аппроксимируемую относительно рабочей точки полиномом действует бигармоническое напряжение в спектре тока:

 

окажутся частоты, кратные и комбинационные частоты до третьего порядка включительно.

 

 








Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту:



©2015 - 2024 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.