Признак сравнения отношений

Также признак сравнения можно сформулировать в более удобной форме — в виде отношений.

Формулировка

Если для членов строго положительных рядов и , начиная с некоторого места ( ), выполняется неравенство: , то из сходимости ряда следует сходимость , а из расходимости следует расходимость .

Доказательство

Перемножая неравенства, составленные для , получаем

или

Дальше достаточно применить признак сравнения для положительных рядов и

Предельный признак сравнения

Поскольку достоверно установить справедливость этого неравенства при любых n — довольно сложная задача, то на практике признак сравнения обычно используется в предельной форме.

Формулировка

Если и есть строго положительные ряды и , то при из сходимости следует сходимость , а при из расходимости следует расходимость .

Доказательство

Если то для достаточно больших

Из ограниченности частных сумм следует ограниченность частных сумм Соотношения обеспечивают на основании признака сравнения сходимость и вместе с тем сходимость Если же то и не может сходиться при расходящемся

20 При́знак д’Аламбе́ра (или Признак Даламбера) — признак сходимости числовых рядов, установлен Жаном д’Аламбером в 1768 г.

Если для числового ряда

существует такое число , , что, начиная с некоторого номера, выполняется неравенство

то данный ряд абсолютно сходится; если же, начиная с некоторого номера

то ряд расходится.

Признак сходимости д’Аламбера в предельной форме

Если существует предел

то рассматриваемый ряд абсолютно сходится если , а если — расходится.

Замечание. Если , то признак д′Аламбера не даёт ответа на вопрос о сходимости ряда.

Доказательство

1. , тогда существует , существует , для любого .
Ряд из сходится (как геометрическая прогрессия). Значит, ряд из сходится (по признаку сравнения).

2. , тогда существует . для любого . Тогда не стремится к нулю и ряд расходится.

Примеры

Ряд

абсолютно сходится для всех комплексных , так как

Ряд

расходится при всех , так как

Если , то ряд может как сходиться, так и расходиться: оба ряда

и

удовлетворяют этому условию, причём первый ряд (гармонический) расходится, а второй сходится.

21 Радикальный признак Коши — признак сходимости числового ряда:

Если для числового ряда

с неотрицательными членами существует такое число , , что, начиная с некоторого номера, выполняется неравенство , то данный ряд сходится.

Предельная форма

Условие радикального признака равносильно следующему:

То есть можно сформулировать радикальный признак сходимости знакоположительного ряда в предельной форме:

Если для ряда , то если ряд сходится, если ряд расходится, если вопрос о сходимости ряда остается открытым.

Доказательство

1. Пусть . Очевидно, что существует такое , что . Поскольку существует предел , то, подставив в определение предела выбранное , получим:

Раскрыв модуль, получаем:

Поскольку , то ряд сходится. Следовательно, по признаку сравнения ряд тоже сходится.

2. Пусть . Очевидно, что существует такое , что . Поскольку существует предел , то, подставив в определение предела выбранное , получим:

Раскрыв модуль, получаем:

Поскольку , то ряд расходится. Следовательно, по признаку сравнения ряд тоже расходится.

Примеры

Ряд

сходится, так как выполняется условие предельной формы радикального признака теоремы Коши

Рассмотрим ряд

ряд сходится.

22 Интегральный признак Коши́ – Макло́рена — признак сходимости убывающего положительного числового ряда. Признак Коши – Маклорена даёт возможность свести проверку сходимости ряда к проверке сходимости несобственного интеграла соответствующей функции на , последний часто может быть найден в явном виде.

Формулировка теоремы

Пусть для функции f(x) выполняется: 1. (функция принимает неотрицательные значения) 2. (функция монотонно убывает) 3. (соответствие функции члену ряда) Тогда ряд и несобственный интеграл сходятся или расходятся одновременно.

Набросок доказательства

1. Построим на графике f(x) ступенчатые фигуры как показано на рисунке

2. Площадь большей фигуры равна

3. Площадь меньшей фигуры равна

4. Площадь криволинейной трапеции под графиком функции равна

5. Получаем

6. Далее доказывается с помощью критерия сходимости знакоположительных рядов.

Примеры

· расходится так как .

· сходится так как .

23 Гармонический ряд — сумма, составленная из бесконечного количества членов, обратных последовательным числам натурального ряда:

.

Ряд назван гармоническим, так как складывается из «гармоник»: -я гармоника, извлекаемая из скрипичной струны, — это основной тон, производимый струной длиной от длины исходной струны^[1].

25 Ряд называется знакочередующимся, если его члены попеременно принимают значения противоположных знаков, т. е.:

Признак Лейбница

Основная статья: Теорема Лейбница о сходимости знакочередующихся рядов

Признак Лейбница — признак сходимости знакочередующегося ряда, установлен Готфридом Лейбницем. Формулировка теоремы:

Пусть для знакочередующегося ряда выполняются следующие условия: 1. (монотонное убывание {an}) 2. . Тогда этот ряд сходится.

Замечания:

Если, выполнены все условия, и ряд из модулей ( ) сходится, то исходный ряд сходится абсолютно. Если выполнены все условия, но ряд из модулей расходится, то исходный ряд сходится условно. Строгая положительность существенна.

Ряды, удовлетворяющие признаку Лейбница, называются рядами Лейбница. Следует отметить, что этот признак является достаточным, но не необходимым.

Пример

. Ряд из модулей имеет вид — это гармонический ряд, который расходится.

Теперь воспользуемся признаком Лейбница:

1. знакочередование выполнено

2.

3. .

Следовательно, так как все условия выполнены, но ряд из модулей расходится, искомый ряд сходится условно.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: