Теорема сложения вероятностей

Теорема сложения вероятностей формулируется следующим образом.

Вероятность суммы двух несовместимых событий равна сумме вероятностей этих событий:

Докажем теорему сложения вероятностей для схемы случаев. Пусть возможные исходы опыта сводятся к совокупности случаев, которые мы для наглядности изобразим в виде n точек:

Предположим, что из этих случаев благоприятны событию , а – событию . Тогда

Так как события и несовместимы, то нет таких случаев, которые благоприятны и , и вместе. Следовательно, событию благоприятны случаев и

Подставляя полученные выражения в формулу (3.2.1), получим тождество. Теорема доказана.

Обобщим теорему сложения на случай трех событий. Обозначая событие буквой , и присоединяя к сумме еще одно событие , легко доказать, что

Очевидно, методом полной индукции можно обобщить теорему сложения на произвольное число несовместных событий. Действительно, предположим, что она справедлива для n событий:

и докажем, что она будет справедлива для событий:

Обозначим:

Имеем:

Но так как для n событий мы считаем теорему уже доказанной, то

откуда

что и требовалось доказать.

Таким образом, теорема сложения вероятностей применима к любому числу несовместных событий. Её удобнее записать в виде:

. (3.2.2)

Отметим следствия, вытекающие из теоремы сложения вероятностей.

Следствие 1. Если события образуют полную группу несовместных событий, то сумма их вероятностейравна единице:

Доказательство. Так как события образуют полную группу, то появление хотя бы одного из них – достоверное событие:

Так как - несовместные события, то к ним применима теорема сложения вероятностей

откуда

что и требовалось доказать.

Перед тем как вывести второе следствие теоремы сложения, определим понятие о «противоположных событиях».

Противоположными событиями называются два несовместных события, образующих полную группу.

Событие, противоположное событию , принято обозначать .

Примеры противоположных событий.

1) – попадание при выстреле, - промах при выстреле;

2) – выпадение герба при бросании монеты, - выпадение цифры при бросании монеты;

3) – безотказная работа всех элементов технической системы, - отказ хотя бы одного элемента;

4) – обнаружение не менее двух бракованных изделий в контрольной партии, - обнаружение не более одного бракованного изделия.

Следствие 2. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице:

Это следствие есть частный случай следствия 1. Оно выделено особо ввиду его большой важности в практическом применении теории вероятностей. На практике весьма часто оказывается легче вычислить вероятностьпротивоположного события , чем вероятность прямого события . В этих случаях вычисляют и находят .

Рассмотрим несколько примеров на применение теоремы сложения и её следствий.

Пример 1. В лотерее 1000 билетов; из них на один билет падает выигрыш 500 руб., на 100 билетов – выигрыши по 100 руб., на 50 билетов – выигрыши по 20 руб., на 100 билетов – выигрыши по 5 руб., остальные билеты невыигрышные. Некто покупает один билет. Найти вероятность выиграть не менее 20 руб.

Решение. Рассмотрим события:

– выиграть не менее 20 руб.,

- выиграть 20 руб.,

- выиграть 100 руб.,

- выиграть 500 руб.

Очевидно,

По теореме сложения вероятностей

Пример 2. Производится бомбометание по трем складам боеприпасов, причем сбрасывается одна бомба.Вероятность попадания в первый склад 0,01; во второй 0,008; в третий 0,025. При попадании в один из складов взрываются все три. Найти вероятность того, что склады будут взорваны.

Решение. Рассмотрим события:

– взрыв складов,

- попадание в первый склад,

- попадание во второй склад,

- попадание в третий склад.

Очевидно,

Так как при сбрасывании одной бомбы события несовместны, то

Пример 3. Круговая мишень (рис. 3.2.1) состоит из трех зон: I, II и III. Вероятность попадания в первую зону при одном выстреле 0,15, во вторую 0,23, в третью 0,17. Найти вероятность промаха.

Рис. 3.2.1.

Решение. Обозначим – промах, - попадание. Тогда

где - попадание соответственно в первую, вторую и третью зоны

откуда

Как уже указывалось, теорема сложения вероятностей (3.2.1) справедлива только для несовместных событий. В случае, когда события и совместны, вероятность суммы этих событий выражается формулой

. (3.2.3)

В справедливости формулы (3.2.3) можно наглядно убедиться, рассматривая рисунок 3.2.2.

Рис. 3.2.2.

Аналогично вероятность суммы трех совместных событий вычисляется по формуле

Справедливость этой формулы также наглядно следует из геометрической интерпретации (рис. 3.2.3).

Рис. 3.2.3.

Методом полной индукции можно доказать общую формулу для вероятности суммы любого числа совместных событий:

, (3.2.4)

где суммы распространяются на различные значения индексов , и т.д.

Формула (3.2.4) выражает вероятность суммы любого числа событий через вероятности произведений этих событий, взятых по одному, по два, по три и т.д.

Аналогичную формулу можно написать для произведения событий. Действительно, из рис. 3.2.2 непосредственно ясно, что

. (3.2.5)

Из рис. 3.2.3 видно, что

. (3.2.6)

Общая формула, выражающая вероятность произведения произвольного числа событий через вероятности сумм этих событий, взятых по одному, по два, по три и т.д., имеет вид:

. (3.2.7)

Формулы типа (3.2.4) и (3.2.7) находят практическое применение при преобразовании различных выражений, содержащих вероятности сумм и произведений событий. В зависимости от специфики задачи в некоторых случаях удобнее бывает пользоваться только суммами, а в других только произведениями событий: для преобразования одних в другие и служат подобные формулы.

Пример. Техническое устройство состоит из трех агрегатов: двух агрегатов первого типа - и - и одного агрегата второго типа – . Агрегаты и дублируют друг друга: при отказе одного из них происходит автоматическое переключение на второй. Агрегат не дублирован. Для того, чтобы устройство прекратило работу (отказало), нужно, чтобы одновременно отказали оба агрегата и или же агрегат . Таким образом, отказ устройства – событие – представляется в виде:

где - отказ агрегата , - отказ агрегата , – отказ агрегата .

Требуется выразить вероятность события через вероятности событий, содержащих только суммы, а не произведения элементарных событий , и .

Решение. По формуле (3.2.3) имеем:

; (3.2.8)

по формуле (3.2.5)

;

по формуле (3.2.6)

Подставляя эти выражения в (3.2.8) и производя сокращения, получим:

Условная вероятность

Пример 18.Игральная кость подбрасывается один раз. Известно, что выпало более трёх очков. Какова вероятность того, что выпало чётное число очков?

Зная, что выпало более трёх очков, мы можем сузить множество всех возможных элементарных исходов до трёх одинаково вероятных исходов: , из которых событию благоприятствуют ровно два: . Поэтому .

Посмотрим на вопрос с точки зрения первоначального эксперимента. Пространство элементарных исходов при одном подбрасывании кубика состоит из шести точек: . Слова «известно, что выпало более трёх очков» означают, что в эксперименте произошло событие . Слова «какова при этом вероятность того, что выпало чётное число очков?» означают, что нас интересует, в какой доле случаев при осуществлении происходит и . Вероятность события , вычисленную в предположении, что о результате эксперимента уже что-то известно (событие произошло), мы будем обозначать через .

Мы хотим найти, какую часть составляют исходы, благоприятствующие внутри (т.е. одновременно и ), среди исходов, благоприятствующих .

Мы пришли к выражению, которое можно считать определением условной вероятности.

Определение 18. Условной вероятностью события при условии, что произошло событие , называется число

Условная вероятность определена только в случае, когда .

Это определение бывает полезно использовать не для вычисления условной вероятности, а для последовательного вычисления вероятности нескольким событиям случиться одновременно, если известны соответствующие условные вероятности. А именно, справедливы следующие «теоремы умножения вероятностей».

Теорема 6.Если и , то

Теорема 7.Для любых событий верно равенство:

если все участвующие в нём условные вероятности определены.

123 4 5

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: