Численное интегрирование. Метод трапеций.

На частичном отрезке интегрирования подынтегральная функция заменяется интерполяционным полиномом первой степени, т.е. прямой, проходящей через точки и (рис. 4.4):

Поставляя это выражение в формулу (4.12) и выполняя интегрирование по частичным отрезкам приходим к формуле трапеций:

(4)

Название метода связано с тем, что интеграл по отрезку заменяется площадью трапеции с основаниями, равными значениям функции на краях отрезка, и высотой, равной (рис. 4.4).

В случае постоянного шага интегрирования формула трапеций принимает вид:

. (5)

Численное интегрирование. Формула Симпсона.

Разобьем интервал интегрирования на четное число n равных отрезков с шагами . На каждом отрезке , содержащем три узла, заменим подынтегральную функцию интерполяционным полиномом второй степени, т.е. параболой

Интегрируя это выражение на отрезке получим

. (6)

Приближенное значение интеграла на интервале получим суммированием частичных интегралов (4.21) по всем отрезкам :

. (7)

Полученное соотношение называется формулой Симпсона или формулой парабол.

Задача Коши для дифференциального уравнения

Для обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка задача

Коши состоит в следующем: найти решение уравнения

y'=f(x,y), (1)

удовлетворяющего начальному условию

y(x₀)=y₀ . (2)

Необходимо найти на отрезке [x₀,x_n] такую непрерывную функцию y = y(x), которая удовлетворяет дифференциальному уравнению (1) и начальному условию (2). Нахождение такого решения называют решением задачи Коши

Метод Эйлера

Численное решение задачи Коши заключается в следующем. На отрезке [a,b] задается конечное множество точек .

В выбранных точках x_i отыскиваются приближенные значения искомой функции y_i ≈ y(x_i) ._.

Для построения рабочей формул метода Эйлера разделим отрезок [a,b] на равных частей и вычислим шаг интегрирования . Сформируем систему равноотстоящих точек , , где , .

Приближенные значения искомой функции y_i ≈ y(x_i) в выбранных точках x_i вычисляются последовательно по формуле:

, , (3)

При этом искомая интегральная кривая y(x), проходящая через точку (x₀,y₀), заменяется ломанной с вершинами в точках (x_i,y_i).

Для практической оценки погрешности метода можно использовать правило Рунге. Для этого прибегают к следующему приему вычисления по формуле(3) проводятся дважды: с шагом h и h/2, что удваивает число n.

За оценку погрешности принимается величина

_{Метод Эйлера приводит к систематическому накоплению ошибок, поэтому в практике расчетов используют модификации этого метода: метод ломаных и метод Эйлера-Коши.В первом случае сначала вычисляют промежуточные значения}

_{и находят направление поля интегральных кривых в средней точке}_{, а затем полагают}_{.ф
Во втором случае грубое приближение}

_,_{уточняется следующим образом:}

_{37) Метод Рунге-Кута}

_{На практике широко применяется одношаговый метод четвертого порядка Рунге-Кутта.
Метод заключается в том, что значение функции}_y₍_x_{) в точке}_x_i_{+1 определяется по рекуррентной формуле:}

_{Для вычислений по методу Рунге-Кутта необходимо предварительно вычислить 4 коэффициента:}

_{38) Метод Адамса}

_{Пусть для задачи Коши найдены каким-либо способом (например, методом Эйлера или Рунге-Кутта) три последовательных значения искомой функции,}

_{где h – шаг изменения} _{.
Вычислим величины}

_{.
Метод Адамса позволяет найти решение задачи, то есть функцию в виде таблицы. Продолжение вычисленный функции из четырех точек осуществляется по экстраполяционной формуле Адамса: (1.3)
затем уточнение проводится по интерполяционной формуле Адамса: . (1.4)}

_{Метод адамса 4 порядка м} _{Метод Адамса легко распространяется на системы дифференциальных уравнений.
39) Методы решения систем дифференциальных уравнений}

_{– Метод исключения.Суть метода состоит в том, что в ходе решения система ДУ сводится к одному дифференциальному уравнению.
– С помощью характеристического уравнения (так называемый метод Эйлера).
Численные методы решения систем дифференциальных уравнений.}

_1._{Метод Эйлера}_.

_{yij+1=yij+hfi(xi,y1j y2j..ynj)}