|
|
Постановка задачи интерполяции.На интервале [a, b] заданы точки xi, i=0, 1,..., N; a ≤ x i ≤ b, и значения неизвестной функции в этих точках fi, i=0, 1,...., N. Требуется найти функцию F(x), принимающую в точках xi те же значения fi. Точки Задача имеет много решений, т.к. через заданные точки (xi, fi), i=0, 1,..., N, можно провести бесконечно много кривых, каждая из которых будет графиком функции, для которой выполнены все условия интерполяции. Для практики важен случай аппроксимации функции многочленами, т.е. Все методы интерполяции можно разделить на локальные и глобальные. В случае локальной интерполяции на каждом интервале [xi–1, xi]строится отдельный полином. В случае глобальной интерполяции отыскивается единый полином на всем интервале [a,b]. При этом искомый полином называется интерполяционным полиномом. Многочлен имеет столько корней, сколько имеет его степень.
Линейная интерполяция Простейшим и часто используемым видом интерполяции является линейная интерполяция. Она состоит в том, что заданные точки М(xi, yi) (i = 0, 1, ..., n)соединяются прямолинейными отрезками, и функция f(x) приближается к ломаной с вершинами в данных точках
Уравнения каждого отрезка ломаной линии в общем случае разные. Поскольку имеется n интервалов
где коэффициенты
Следовательно, при использовании линейной интерполяции сначала нужно определить интервал Квадратичная интерполяция При квадратичной интерполяции значение функции в точке
Неизвестные коэффициенты a, b, c трехчлена могут быть найдены из условия прохождения параболы (2) через три точки
Следовательно, при использовании квадратичной интерполяции сначала нужно определить интервал Формула Лагранжа Интерполяционный многочлен Лагранжа предлагает наиболее общую формулу для решения задачи интерполяции
Следовательно, чтобы выполнить интерполяцию по формуле Лагранжа, нужно по заданной таблице построить многочлен (2). И затем подставить x, в формулу (2) и найти значение функции при данном значении аргумента. 25) Постановка задачи приближения. Критерии приближения Графическая интерпретация аппроксимации приведена на рисунке.
В качестве критерия можно выбрать, например, точное совпадение приближаемой и приближающей функций в узловых точках (лагранжева интерполяция); минимум суммы квадратов отклонения в узловых точках (метод наименьших квадратов) и др. Как и при выборе класса приближающих функций, выбор критерия близости исходной и приближающей функций определяется целью построения приближающей функции и может существенно повлиять на результаты. 
Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: ©2015 - 2024 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.
|
называются узлами интерполяции, а условия F(xi)= fi. – условиями интерполяции. При этом F(x) ищем только на отрезке [a,b]. Если необходимо найти функцию вне отрезка, то - это задача экстраполяции. Пока мы будем рассматривать только интерполяционные задачи.
.
, то для каждого из них в качестве уравнения интерполяционного полинома используется уравнение прямой, проходящей через две точки. В частности, для i -го интервала можно написать уравнение прямой, проходящей через точки (xi , yi) и (xi +1, yi +1 ) в виде
и 
можно найти по формулам:
, находящейся в промежутке между точками 
, определяются подстановкой в квадратичный трехчлен (параболу)
, 
. (2)
.. Эти условия можно записать в виде:
(3)
. Задача приближения (аппроксимации) заключается в следующем: данную функцию f(x) приближенно заменить (аппроксимировать) многочленом заданной степени k 
так, чтобы отклонение f(x) от Pk(x) было минимальным на заданном множестве точек xi 
. Эта функциональная (аналитическая) зависимость должна с достаточной точностью соответствовать исходной табличной зависимости. Критерием точности или достаточно "хорошего" приближения могут служить несколько условий. В зависимости от того, какой критерий близости выбран для решения этой задачи, применяют соответствующий метод аппроксимации.