|
|
Интегрирование рациональных дробей.Билет 28 Замена переменной в неопределенном интеграле.
Основную роль в интегральном исчислении играет формула замены переменных (или подстановки)
В этой формуле предполагается, что
Следовательно, если ввести в этой функции подстановку Пример: Билет 29 Интегрирование по частям неопределенного интеграла. Пусть даны U и V, тогда по правилу интегрирования по частям
Пример 1:
Пример 2:
Пример 3:
Пример 4:
Правило: При интегрировании выражений вида Если
Если
Пример5.
Билет 30 Интегрирование простейших рациональных дробей 1. 2.
4.
рассмотрено в пункте 3
рассмотрено в пункте 4.
6. 7. 8. 9.
Билет 31 Интегрирование рациональных дробей. Пусть нужно найти неопределенный интеграл Многочлен R интегрируется без труда, а
Тогда пусть 1 случай. Знаменатель содержит простые действительные корни, тогда его можно разложить на простейшие множители: (см.Теор.1)
Приравнивая тождественно равные числители, получим:
Существуют 2 метода нахождения 1) сравниваем коэффициенты при x с одинаковыми степенями; однако этот метод очень трудоемкий. 2) Т.к. равенства тождественны, можем взять Т.о., мы получили сумму элементарных дробей, которые можем легко проинтегрировать. Пример 2 случай. Знаменатель содержит кратные корни, тогда его можно представить в виде:
Пусть существуют n различных корней с кратностями
Пример 3 случай. Знаменатель содержит кратные корни и многочлены, имеющие комплексные корни;
Тогда R(x) представим в виде:
Снова приводим к общему знаменателю и приравниваем числители. Пример 4 случай Знаменатель содержит кратные действительные и кратные комплексные корни;
Тогда R(x) представим в виде:
А дальше все делаем по старой схеме: методом неопределенных коэффициентов находим A, B... Пример
Теорема 1 Любой многочлен над полем С раскладывается на линейные и квадратичные множители с действительными коэффициентами:
Доказательство Если Пусть тогда существует невещественный корень Тогда если
Теперь нам нужно доказать, что любые правильные дроби раскладываются на простейшие. Лемма 1 Пусть многочлен и
Доказательство Действуем так же, как в примерах: приводим к общему знаменателю и приравниваем числители:
Теперь докажем, что дробь Степень знаменателя дроби = n-1, для числителя ( M(x)): по условию Лемма 2 Если многочлен Q(x) имеет комплексный корень кратности k, т е представим в виде
Доказательство Снова приведем дробь к общему знаменателю и приравняем числители. Получим Пусть
так как столбец Обобщая все вышесказанное, получаем: («Теорему о разложении на простейшие дроби») Пусть многочлен
Заметим, что в самой последней дроби степень числителя (первая) меньше степени знаменателя (вторая) , т.е. последняя дробь – правильная. И каждую из дробей-слагаемых мы можем проинтегрировать в элементарных функциях. Общий вывод: Любая рациональная дробь интегрируется в элементарных функциях.
Билет 32 Интегрирование выражений вида Докажем, что любой такой интеграл – берущийся в элементарных функциях. Пусть Тогда получим, что x=φ(t), dx=φ΄(t)dt, где φ(t) и φ΄(t)dt – рациональные выражения, поэтому: Билет 33 
Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: ©2015 - 2024 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.
|
(1).
есть непрерывно дифференцируемая функция на некотором интервале изменения 
, а 
- непрерывная функция на соответствующем интервале или отрезке оси 
. Докажем это утверждение. Слева в (1) стоит функция, которая является первообразной от 
. Интеграл же справа есть, по определению, некоторая первообразная от 
. Это и записано в виде первого равенства (1). Что касается второго, то оно носит формальный характер - мы просто уславливаемся писать: 
.
, где P(x)-многочлен,
за U принимаем
за U принимаем
5.
-случай 7
Случай 8.
от рациональной действительной дроби. Если степень многочлена P k не меньше степени многочлена Q n ( 
), то прежде всего разделим P на Q : 
– правильная действительная дробь. Все трудности сводятся к интегрированию правильной дроби, которую мы снова обозначим через 
и представим в виде:
, 
. Тогда
:
, тогда 
. Так, подставляя поочередно 
найдем все 
.
, тогда
- и делаем все так же, как и в предыдущем примере.
, где многочлены 
, 
имеют комплексные корни.
, то все в порядке: 
- линейный множитель с вещественными коэффициентами
. Ему соответствует скобка 
.
– корень, то сопряженный к нему 
тоже будет корнем. Тогда наряду с множителем 
. Перемножим эти 2 скобки: 
- квадратный трехчлен с вещественными коэффициентами, что и требовалось доказать.
представим в виде: 
, где 
- выделили максимальное кол-во скобок (x-a)
- степень числителя меньше степени знаменателя, тогда
, причем дробь 
- правильная; если 
, то 
; M(x) – многочлен с действительными коэффициентами.
; подставим 
, тогда 
, по условию 
- нам нужно доказать, что это – многочлен, а не дробь. Подставим x=a, числитель при такой подстановке = 0, а это значит, что многочлен 
делится на 
, т.е. M(x) – многочлен с действительными коэффициентами.
.
и 
, да еще делим на (x-a) ( 
- меньше степени знаменателя, что и требовалось доказать.
, при этом многочлен 
имеет только комплексные корни, которые не являются корнями N(x). 
, тогда дробь можно представить в виде:
, причем вторая дробь будет правильной. M(x) – многочлен с действительными коэффициентами.
, 
- корень многочлена 
, 
тоже корень. Подставим 
и 
:
; 
Найдем определитель системы, чтобы выяснить, имеет она решения, или нет:
, значит, система разрешима и существуют A и B – решения системы, нужно доказать, что 
, заменим A и B на 
: 
, решим сопряженную систему: 
- получили исходную систему;
- решение, столбец 
является решением. А т.к. решение должно быть единственным (определитель 
), 
; M(x) находится аналогично Лемме 1 ; теорема доказана.
представим в виде: 
и положим 
, тогда
.
, т.к. 
. Пусть m=НОК 
, 
. Сделаем замену: 
, тогда 
, причем последнее выражение - рациональное, т.к. m делится на любое 
.
- тоже рациональное выражение