Принцип компактности отрезка

Ранее в параграфе 2 было показано, что если последовательность имеет конечный предел: , то она является ограниченной. При этом обратное неверно, то есть не всякая ограниченная последовательность имеет предел.

Например, ограниченная последовательность, но предела не имеет.

Но можно доказать, что если вся ограниченная последовательность может не иметь предела, то у нее всегда существует подпоследовательность, которая имеет конечный предел. Это утверждение называется принципом компактности отрезка, или теоремой Больцано – Вейерштрасса.

Теорема Больцано – Вейерштрасса о выделении сходящейся подпоследовательности из ограниченной последовательности

Из любой ограниченной числовой последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность: – огр. ℝ

w Пусть последовательность является ограниченной, т.е. при .

Разделим отрезок пополам точкой . При этом, по крайней мере, на одной половине окажется бесконечно много чисел из последовательности ; обозначим эту половину и выберем на ней произвольно число , где , рис. 20а).

Рис. 20

Снова разделим на две равные части и ту часть, в которую попадает бесконечно много чисел из последовательности , обозначим .

Поскольку на находиться бесконечно много чисел из , то среди них есть члены с номерами заведомо большими, чем . Выберем одно из таких чисел и обозначим его , при этом , рис. 20б).

Аналогично, разделив отрезок пополам, выберем на одной из половинок

число :

Продолжая этот процесс, в результате получим подпоследовательность из чисел

, в которой номера монотонно возрастают

с увеличением номера , при этом отрезки будут вложенными, то есть

Длины этих отрезков равны числам , которые очевидно стремятся к 0 при .

По свойству вложенных отрезков, длины которых стремятся к нулю, получим, что эти отрезки имеют непустое пересечение, а точнее, что существует единственная точка при причем .

Так как последовательности и являются монотонными и ограниченными, то по теореме Вейерштрасса из предыдущего параграфа заключаем, что

и .

Теперь рассматриваем этот факт вместе с двойным неравенством:

и по теореме о пределе зажатой последовательности делаем вывод, что .

Таким образом, построенная в процессе доказательства подпоследовательность имеет конечный предел, то есть является сходящейся. v

Примеры (иллюстрация к теореме Больцано-Вейерштрасса)

1. ;

эта последовательность ограниченная, так как , но не сходящаяся;

ее сходящиеся подпоследовательности имеют, например, следующий вид:

, где

, где

2. ;

эта последовательность ограниченная, так как , но не сходящаяся;

в этой последовательности бесконечно много раз встречаются числа

потому что

поэтому каждое указанное число является пределом подпоследовательности, в которой

таким образом, если , то из этой ограниченной последовательности можно извлечь сходящиеся подпоследовательности , количество которых равно числу 181.

Замечание

В дополнение к теореме Больцано-Вейерштрасса есть возможность доказать, что из любой неограниченной последовательности можно извлечь бесконечно большую подпоследовательность, имеющую своим пределом бесконечность определенного знака.

wДействительно, пусть последовательность является неограниченной, потому что, например, неограниченна сверху. Тогда существует такой номер , что

.

Поскольку последовательность получающаяся из данной последовательности отбрасыванием конечного числа её членов , также неограниченная сверху, то найдется такой номер , что

, следовательно, .

Продолжая эти рассуждения, получаем последовательность таких номеров , что

, и при этом .

Таким образом, построена подпоследовательность , которая монотонно возрастает и неограниченная сверху, поэтому , то есть является бесконечно большой последовательностью, имеющей своим пределом .

Аналогично приводится доказательство для случая, когда последовательность не является ограниченной снизу и тогда , такая что . v

Например, из неограниченной последовательности с общим членом

извлекаются следующие бесконечно большие подпоследовательности:

.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: