Теорема Лиувилля.( понятие целой ф-ции. Основная теорема алгебры)

1. Нер-ва Коши для коэф-тов степенного ряда. Обозначим и оценим коэф-т степенного ряда - нер-во Коши.

Опр-е: ф-ция наз-ся целой, если она аналитическая во всей конечной компл пл-ти. Пример. целые ф-ции: многочлен

2. Т. Лиувилля: если целая ф-ция ограничена по модулю, то она константа. Док-во: степенной ряд .в который разлогается целая ф-ция f(z)= сх-ся во всей пл-ти, т.е; заведомо, в любом круге . Пусть по условию . Применим нер-во Коши: . Учитывая что можно выбрать сколь угодно большим, убеждаемся что при . Теорема доказана.

С помощью этой теоремы может быть установлено, например, алгебраическая замкнутость поля комплексных чисел. Суть ее в основной теореме алгебры.

3. основная теорема алгебры: всякий многочлен имеет в поле комплексных чисел по крайней мере один корень. Док-во: от противного: пусть нет чисел обращающих в нуль. Тогда - целая ф-ция, она ограничена по модулю. Действительно, т.е она ограничена в некоторой окр-ти т-ки - во внешности некоторого круга и в нем – тоже (как всякая непрерывная ф-ция) тогда по теореме Лиув. , что противоречит очевидности зависимости ее от z.

Нули аналитической функции. Изолированность нулей.

Если ряд Тейлора однозначной аналитической ф-и f(z) имеет вид f(z)=a_k(z-z₀)^k+a_k+1(z-z₀)^k+1+...+a_n(z-z₀)ⁿ+...(a_k≠0), то z₀ – нуль кратности k. Если k=1, то k наз-ся простым нулем. Пример: f(z)=1-cos z, z=0. f(0)=1-cos 0=1-1=0. f'(z)=sin z, f'(0)=0, f''(z)=cos z, f''(0)=1≠0 — значит k=2, т.е нуль кратности 2. Очевидно, признак простого нуля f(z₀)=0, f'(z₀)≠0. Для аналитической ф-ии имеет место след. Теорема: если f(z)≠0 и ф-ия f(z) — аналитическая, то все нули ф-ии f(z) — изолированы. Изолированность нуля означает, что сущ-ет окр-ть нуля, внутри которой нет другого нуля. Будем р!-ь U окр-ть т.z₀ и ф-ию f(z)- аналитическую в этой U-окр-ти т.z₀, исключая возможно саму т.z₀ (рис.1). Возможно 2 случая: 1) сущ-ет такая точка а₀, что положив f(z₀)=a₀, получим аналитическую ф-ию, значит z₀ – наз-ся правильной; 2) такое число а₀ не сущ-ет, z₀-изолированная особая точка. Теорема: т.z₀-правильная для аналитической в окр-ти т.z₀ ф-ии f(z) (z≠z₀)↔сущ-ет U-окр-ть т.z₀, в которой |f(z)|-ограничена. Из этой теоремы можно получить признак правильной точки отсутствием ряда , в соот-ем разложении ф-ии f(z) в виде ряда Лорана (т.е. Отсутствуют коэф-ты с «-» степенями). Если |f(z)|-не ограничена, то z₀ – особая точка. Возможны случаи: 1) , то т.z₀ – наз-ся полюсом. 2) , тогда т.z₀ – наз-ся существенно особой точкой. Пример: , z₀ – полюс кратности 2. Имеет место след. Теорема о взаимосвязи нуля и полюса ф-ии: z₀ – полюс f(z) ↔z₀ – яв-ся полюсом . Т.z₀ наз-ся полюсом кратности k для ф-ии f(z), если z₀ яв-ся нулем кратности k для ф-ии . Учитывая вид степенного ряда для ф-ии f(z), в случаи, когда z₀-яв-ся нулем кратности k легко понять, что ряд Лорана будет содержать конечное число членов с «-» степенями, т.е ряд Лорана будет иметь вид: f(z)=a_-k(z-z₀)^-k+...а₀+a₁(z-z₀)+...a_-k≠0. Для разложения ф-ии f(z) в окр-ти сущ-но особой точки z₀ в ряд Лорана потребуется бесконечно много членов с «-» степенями, поэтому признак сущ-но особой точки — это наличие в ряде Лорана бесконечного числа членов с «-» степенями.

Теорема Соходского.

Т. Т-ка - полюс для f(z) нуль для . док-во: необходимость если полюс F(z)то и окрестность т-ки , в которой например, тогда в этой окр-ти т.е - правильная т-ка для причем . Значит

Достаточность: Если - нуль для , то он изолирован: поэтому существ , такое что f(z)- аналетическая, в кольце . По скольку - полюс для f(z). Ч.т.д.

Опр: т. - называется полюсом кратности К для f(z) если - нуль кратности К, для .

Учитывая вид степенного ряда, для аналетической функции в окрестности нуля, легко понять, что ряд Лорана построенный в окрестности полюса кратности К для функции содержит конечное число членов с отрицательными стипенями:

, . Поэтому признак существенно особой точки- наличие бесконечного числа членов с отрицательными степенями в ряде Лорана. Поведение функции в окрестности существенно особой точки заслуживает особого внимания.

Теор Сохоцкого: Если - существ особая точка для f(z) то, какого бы ни было комплексное число А(не исключая и А= ), существ послед , для которой . Док-во: Если А= , то теорема очевидна, т.к не ограничен во крестности . Пусть А . Рассуждаем от противного. Если в любой окрестности нет точек сколь угодно близких А , то в некоторой окрестности U ( ) поэтому ограниченна по модулю в U, т.е правильная точка для . Однако не ограничен в U. Поэтому , но тогда - полюс для , т.е и для f(z), что приводит к противоречию с условием теоремы. Ч.т.д.

22. Вычет Ф комплексного переменного.Основная теорема о вычетах.

Пусть требуется вычислить интеграл по замкнутому контуру Г от аналитической в обл. D ф-ии f(z),которая может иметь изолированные особые точки z_1,…,z_n в D.Опишем вокруг z_i (i=1…n) окружности (см. рис).

Тогда .Разложим f(z) в ряд Лорана в окр-ти т. z_i и проинтегрируем по почленно.Интегралы от всех членов ряда будут равны нулю,кроме того,что относится к члену и равен ,поэтому .Т.о,коэффициент при (z-a)^-1 в ряде Лорана,построенном для окрестности изолированной особой т аналитической Ф,играет особую роль при вычислении интегралов.Он наз-ся вычетом f(z) относительно т. а и обозн-ся (или )

Получаемая выше формула носит наз-е основной теоремы о вычетах:

Т:пусть f(z)-аналит-я в обл. G функция,исключая конечное число особых точек.Тогда интеграл от нее по замкнутому контуру Г G равен умноженной на сумме вычетов относительно особых точек,лежащих внутри Г.

23.Вычисление вычетов относительно полюса.

1).Вычисление вычетов оказывается сравнительно простым для полюсов.Пусть,например,а-простой полюс.Тогда в его окр-ти ряд Лорана для f(z) имеет вид: Очевидно поэтому, что . В частности, если ,где ,а имеет простой нуль в т.а ,тогда .

Примеры: •Для ф-ии

разложение в ряд Лорана получается подстановкой вместо его ряда Тейлора.

Имеем , т.е. .

• ; имеет в т. простой нуль, поэтому:

2).Пусть теперь а-полюс кратности к (к>1).Тогда ряд Лорана имеет вид:

Умножив обе части на и дифференцируя их (к-1), получим:

Остается перейти к приделу при .

Например, возвращаясь к первому примеру •, замечаем, что в т. z=0 ф-я имеет полюс порядка 3.Поэтому

,т.к. .

3).Столь же эффективных способов вычисления вычетов в случае существенно особой точки не сущ-ет.Очевидно,что вычет относительно правильной точки равен нулю(по теореме Коши).

4).z₀-существенно особая:формул нет,получить разложение в ряд Лорана и по нему найти вычет.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: