Математическое моделирование при исследовании операций

Основные понятия и принципы исследования операций

Предмет и задачи исследования операций

В современной науки имеются отрасли, занимающиеся вопросами организации и управления в разных областях практической деятельности человека.

Пусть предпринимается какое-то мероприятие, направленное к достижению определенной цели. У лица, организующего мероприятие, имеется некоторая свобода действий: мероприятие обычно может быть организовано разными способами. Решение – это и есть какой-то выбор из ряда возможностей имеющихся у организатора.

Под исследованием операций понимают применение математических методов для обоснования решений во всех областях целенаправленной человеческой деятельности.

Пример 1. План снабжения предприятий. Имеется ряд предприятий, потребляющих известные виды сырья, и есть ряд баз, которые могут поставлять это сырье предприятиям. Базы связаны с предприятиями некоторыми путями сообщения со своими тарифами. Требуется разработать такой план снабжения предприятий сырьем (с какой базы, в каком количестве и какое сырье доставляется), чтобы потребности в сырье были обеспечены в заданные сроки при минимальных расходах на перевозки.

Пример 2. Продажа сезонных товаров. Для реализации определенной массы сезонных товаров создается сеть временных торговых точек. Требуется выбрать наилучшим образом: число точек, их размещение, товарные запасы и количество персонала на каждой из них так, чтобы обеспечить максимальную экономическую эффективность распродажи.

Пример 3. Контроль продукции. Завод выпускает определенного вида изделия. Для обеспечения высокого качества продукции организуется система выборочного контроля. Требуется рационально организовать контроль, то есть выбрать: размер контрольной партии, последовательность тестов, признаки брака и т.д. При этом заданный уровень качества должен обеспечиваться при минимальных затратах.

Несмотря на то, что примеры относятся к разным областям человеческой деятельности, в них видны сходные черты. В каждом из них речь идет о каком-то мероприятии (или системе мероприятий), преследующем определенную цель. Заданы некоторые условия, характеризующие обстановку мероприятия, изменять которые мы не можем (например, заданы затраты). В рамках этой системы условий требуется принять какое-то решение для того, чтобы мероприятие в каком-либо смысле было наиболее выгодным (или наименее убыточным).

В соответствии с этими общими чертами вырабатываются и общие приемы решения подобных задач, в совокупности составляющие основу исследования операций.

Понятие операции

Операцией называется любое мероприятие (или система действий), объединенное единым замыслом и направленное на достижение определенной цели.

Примеры операций:

1. Система перевозок, обеспечивающая снабжение ряда пунктов определенного вида товарами.

2. Отражение воздушного налета средствами ПВО.

3. Размещение заказов на производство оборудования.

Операция всегда является управляемым мероприятием, то есть можно выбрать тем или иным образом какие-то параметры, характеризующие способ ее организации.

Всякий определенный выбор зависящих от нас параметров называется решением. Решения могут быть удачными, выгодными или неудачными. Оптимальными называются решения, которые по тем или иным соображениям предпочтительнее других.

Цель исследования операций – предварительное количественное (то есть до проведения операции) обоснование оптимальных решений.

В некоторых случаях в результате исследования удается указать одно строго оптимальное решение, но гораздо чаще – выделить область практически равноценных оптимальных (разумных) решений. В пределах этой области может быть сделан окончательный выбор.

Само принятие решения выходит за рамки исследования операций и относится к компетенции ответственного лица или группы лиц, которым предоставлен окончательный выбор.

Те параметры, совокупность которых образует решение, называются элементами решения. В качестве элементов решения могут встречаться различные числа, векторы, функции и т.д.

Например, если составляется план перевозок однородных грузов из пунктов отправления A₁, A₂, ..., A_m в пункты назначения B₁, B₂, ..., B_n, то элементами решения будут числа x_ij, показывающие, какое количество груза будет отправлено из i-го пункта отправления A_i в j-й пункт назначения B_j. Совокупность чисел образует решение.

В простейших задачах исследования операций количество элементов решения может быть сравнительно невелико. Но в большинстве задач, имеющих практическое значение, число элементов решения достаточно велико.

Для упрощения всю совокупность элементов решения обозначают одной буквой x и говорят «решение x».

Кроме элементов решения, которые мы выбираем, в каждой задаче исследования операций имеются еще и заданные условия, которые фиксированы с самого начала и нарушены быть не могут (например, грузоподъемность и габаритные размеры машины и др.) В своей совокупности они определяют «множество возможных решений».

Обозначим это множество тоже одной большой буквой X, а тот факт, что решение х принадлежит этому множеству, будем записывать в виде .

Таким образом, при исследовании какой-либо операции необходимо в множестве возможных решений X выделить те решения x (иногда одно, а чаще – целую область), которые с той или иной точки зрения эффективнее (удачнее, предпочтительнее) других.

Эффективность операции

Чтобы сравнивать между собой по эффективности разные решения, нужно иметь какой-то количественный критерий, так называемый показатель эффективности W (его часто называют целевой функцией). Этот показатель выбирается так, что он отражал целевую направленность операции. Лучшим будет считаться то решение, которое в максимальной степени способствует достижению поставленной цели.

Конкретный вид показателя эффективности зависит от специфики рассматриваемой операции и ее целевой направленности. Например, доход от операции хотелось бы обратить в максимум. Если же показателем эффективности являются затраты, то их желательно обратить в минимум. Это записывается как .

Часто выполнение операции сопровождается действием случайных факторов. Примерами таких факторов могут быть колебания температуры и влажности воздуха, отказы технических устройств и др. В таких случаях в качестве показателя эффективности обычно берется на сама величина, которую хотелось бы максимизировать, а ее среднее значение (математическое ожидание).

В некоторых случаях бывает, что операция, сопровождаемая случайными факторами, преследует какую-то вполне определенную цель (A), которая может быть только достигнута полностью или не достигнута совсем. В этом случае никакие промежуточные результаты нас не интересуют (или их просто не может быть). Тогда в качестве показателя эффективности выбирается вероятность достижения этой цели P(A). Например, если ведется стрельба по какому-то объекту с непременным условием его поражения, то показателем эффективности будет вероятность уничтожения объекта.

Для успешного проведения исследования операции необходим правильный выбор показателя эффективности.

Вернемся к примерам и произведем выбор наиболее естественного показателя эффективности. При этом надо помнить, что возможны и другие варианты выбора показателя эффективности.

Пример 1. План снабжения предприятий. Имеется ряд предприятий, потребляющих известные виды сырья, и есть ряд баз, которые могут поставлять это сырье предприятиям. Базы связаны с предприятиями некоторыми путями сообщения со своими тарифами. Задача операции – обеспечить снабжение сырьем при минимальных расходах на перевозки. Показатель эффективности R – суммарные расходы на перевозку сырья за единицу времени, например, месяц. ( )

Пример 2. Продажа сезонных товаров. Для реализации определенной массы сезонных товаров создается сеть временных торговых точек. Требуется выбрать наилучшим образом: число точек, их размещение, товарные запасы и количество персонала на каждой из них так, чтобы обеспечить максимальную экономическую эффективность распродажи. В качестве показателя эффективности можно выбрать среднюю ожидаемую прибыль (П) от товаров за сезон. ( )

Пример 3. Контроль продукции. Завод выпускает определенного вида изделия. Для обеспечения высокого качества продукции организуется система выборочного контроля. Требуется рационально организовать контроль, то есть выбрать: размер контрольной партии, последовательность тестов, признаки брака и т.д. При этом заданный уровень качества должен обеспечиваться при минимальных затратах. В качестве показателя эффективности можно взять средние ожидаемые расходы R_ср на контроль за единицу времени, при условии, что система контроля обеспечивает заданный уровень качества (например, средний процент брака не выше заданного). ( )

К сожалению, в большинстве задач, имеющих практическое значение, выбрать показатель эффективности однозначно (как в примерах) часто не удается. Однако такие «многокритериальные» задачи тоже можно решать.

Математическое моделирование при исследовании операций

Для применения количественных методов исследования в любой области всегда требуется построить некоторую математическую модель явления. При построении математической модели явление (а, значит, и операция) каким-то образом упрощается. Из множества факторов, влияющих на явление, выделяется сравнительно небольшое количество важнейших. Полученная схема описывается с помощью того или иного математического аппарата.

В результате устанавливаются количественные связи между условиями операции, параметрами решения и исходом операции, то есть показателем эффективности.

Чем удачнее построена математическая модель, чем лучше она отражает характерные черты явления, тем успешнее будет проводимое исследование.

Требования, предъявляемые к модели, противоречивы. С одной стороны, она должна быть достаточно полной, то есть в ней должны быть учтены все важные факторы, от которых зависит исход операции. С другой стороны, модель должна быть достаточно простой, чтобы можно было установить приемлемые зависимости между входящими в нее параметрами.

Математические модели, применяемые при исследовании операций, можно условно разделить на два класса: аналитические и статистические.

Для первых характерно установление аналитических зависимостей между параметрами задачи в виде формул. Чтобы такое аналитическое описание операции было возможно, как правило, нужно принять те или иные упрощения и допущения. С помощью аналитических моделей достаточно точно удается описать только сравнительно простые операции, где число взаимодействующих элементов невелико.

Метод статистического моделирования используется в операциях большого масштаба. Он состоит в том, что процесс развития операции как бы «копируется» на ЭВМ со всем сопровождающими его случайностями. Всякий раз, когда в ход операции вмешивается какой-либо случайный фактор, его влияние учитывается с помощью специальных генераторов случайных чисел. В результате удается получить интересующие нас характеристики исхода операции с любой степенью точности.

Статистические модели имеют перед аналитическими то преимущество, что они позволяют учесть большее число факторов и не требуют грубых упрощений и допущений. Зато результаты статистического моделирования труднее поддаются анализу. Более грубые аналитические модели описывают явление лишь приближенно, зато их результаты более наглядны и отчетливее отражают присущие явлению основные закономерности.

Наилучшие результаты получаются при совместном использовании аналитических и статистических моделей.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: