Сделай Сам Свою Работу на 5

Теоретические основы оценки погрешности

Пусть задана задача Коши для обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка:

, , .

Предположим, что в области D, где задача Коши однозначно разрешима, функция имеет непрерывные частные производные до n-го порядка включительно. Тогда искомое решение будет иметь непрерывные производные до порядка (n+1) и для функции можно записать формулу Тейлора:

(6.1)

Обозначим , , .

При достаточно малом шаге h можно отбросить слагаемое и приближенно считать

(6.2)

Производные, входящие в правую часть формулы (6.2.) можно последовательно вычислить:

, , …

С увеличением порядка производных формулы для их вычисление становиться более громоздкими и непосредственное использование этих формул в (6.2) для вычисления нецелесообразно. Рунге предложил вместо этого составлять линейную комбинацию:

(6.3)

Здесь

, (6.4)

где

(6.5)

Зная и выбрав шаг h, можно последовательно вычислить все .

Выбор постоянных производится так, чтобы разложения (6.2) и (6.3) по степеням h при произвольной функции и произвольном шаге h совпадали до возможно более высоких степеней h.

При этом функция

обладает свойством

и следует подбирать , чтобы s было возможно большим для произвольных h и .

Разность между точным значением при продвижении на один шаг длиной h и его приближенным значением вычисляется по формуле

т.е. погрешность метода на одном шаге будет равна:

(6.6)

где

Метод Эйлера

Метод Эйлера является одним из самых простых методов ре­шения дифференциальных уравнений первого порядка .Он в основном используется как учебный, в практических расче­тах он дает значительную погрешность. Вычислительный алго­ритм представляется следующим образом:

. (6.7)

где - шаг по (в общем случае может быть непостоянным). Запускается метод из начальных условий .

Так как метод Эйлера является одношаговым, то для определения погрешности метода на одном шаге полагают Тогда формула (6.6) примет вид:

(6.8)

где

Пример 12.



Решить дифференциальное уравнение вида при начальных условиях с шагом на интервале .

Это уравнение имеет аналитическое решение .

Для контроля решения численным методом приве­дем наряду с численным и точное решение.

Первый шаг: .

Второй шаг: .

Процесс вычислений по приведенной формуле не представляет трудностей, поэтому приведем остальные результаты в таблице.

Таблица 6.1

0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0
Точное решение 1,222 1,498 1,843 2,278 2,827 3,520 4,393 5,490 6,865 8,584
Приближенное решение 1,200 1,469 1,805 2,230 2,443 3,443 4,296 5,369 6,716 8,399

Относительная по­грешность при этом методе составила , т.е. 2,16%.

Модифицированный метод Эйлера

Для повышения точности на практике используют модифици­рованный метод Эйлера второго порядка. Он имеет следующий вычислительный алгоритм:

. (6.9)

В формуле используется значение , с еще пока неизвестным значением .Это значение может быть найдено предварительно, например, по методу Эйлера, а затем использо­вано в алгоритме. Если же выражение несложное, то мож­но выразить из уравнения в явном виде и найти его или ре­шить его относительно численными методами.

Точность вычислений обычно контролируют двойным про­счетом: сначала вычисляют решение уравнения на каком-то теку­щем шаге , т.е. находясь в точке и вычисляя значение , затем в эту же точку приходят за два шага по , получают и сравнивают их: если для обоих вариантов различие в пределах желаемой погрешности, то решение прини­мают, а если нет, то опять делят шаг на два и т.д., до тех пор, пока не получится приемлемый результат. Однако следует помнить, что при очень маленьком шаге, получающемся в результате его последовательного деления, может значительной оказаться накапливающаяся вычислительная ошибка.

Погрешность шага при этом методе:

(6.10)

где

Пример 13.

Условие задачи сформулировано в примере 12.

Первый шаг (по методу Эйлера): .

Первый шаг по модифицированному методу:

.

Второй шаг (по методу Эйлера): .

Второй шаг по модифицированному методу:

.

Результаты дальнейших шагов представим в таблице.

Таблица 6.2

0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0
Точное решение 1,222 1,498 1,843 2,278 2,827 3,520 4,393 5,490 6,865 8,584
Приближенное решение 1,221 1,495 1,838 2,270 2,814 3,501 4,366 5,452 6,814 8,516

Относительная по­грешность при этом методе составила , т.е. 0,79%.

Метод Рунге-Кутта

Существует целая группа методов Рунге–Кутта среди которых наибольшее распространение получил метод четвертого порядка. Он более точен, чем метод Эйлера, который явля­ется методом первого порядка. Для расчета одного значения функции необходимо четыре раза вычислять правую часть диф­ференциального уравнения, а не два, как в модифицированном методе Эйлера второго порядка. Вычислительный алгоритм запи­сывается следующим образом:

, (6.11)

где

, (6.12)

, (6.13)

, (6.14)

. (6.15)

Здесь также для контроля точности можно применять прием двойного просчета.

Погрешность шага при этом методе:

(6.16)

где

Пример 14.

Условие задачи сформулировано в примере 12. На первом шаге по приведенным для , , , формулам получим:

;

;

;

.

.

На втором шаге получим:

, , , .

соответственно будет

.

Дальнейшие результаты представлены в таблице.

Таблица 6.3

0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0
Точное решение 1,222 1,498 1,843 2,278 2,827 3,520 4,393 5,490 6,865 8,584
Приближенное решение 1,222 1,498 1,843 2,278 2,827 3,520 4,393 5,489 6,864 8,583

Относительная по­грешность при этом методе составила , т.е. 0,01%.

Литература

1. Бахвалов Н.С. Численные методы. – М.: Наука, 1978. – 512 с.

2. Вержбицкий В.М. Численные методы (математический анализ и обыкновенные дифференциальные уравнения): Учеб. пособие для вузов / В.М. Вержбицкий. – 2-е изд., испр. – М.: ООО «Издательский дом «ОНИКС 21 век», 2005. – 400с.

3. Васильков Ю.В., Василькова Н.Н. Компьютерные технологии вычислений в математическом моделировании: Учеб. пособие. – М.: Финансы и статистика, 1999. – 256 с.: ил.

4. Численные методы: Учебное пособие для студентов направления «Прикладная математика и информатика» / М.Г. Бояршинов; Перм. гос. техн. ун-т. Пермь, 1998. 176 с.

5. Численные методы. Часть 2: Учебное пособие для студентов направления «Прикладная математика и информатика» / М.Г. Бояршинов; Перм. гос. техн. ун-т. Пермь, 1999. 200 с.

6. Численные методы: Теоретические основы и примеры реализации методов: Конспект лекций / А.В. Затонский; Перм. гос. техн. ун-т. Пермь, 1998. 103 с.

7. Приближенное решение дифференциальных уравнений: Метод. указания для студентов 1-го и 2-го курсов / Сост. Е.Л. Гусаренко; Перм. гос. техн. ун-т. Пермь, 1997. 17 с.

8. Приближенное вычисление определенных интегралов методом Симпсона: Лаборат. работа по высшей математике для студентов 1-го курса / Сост. С.А. Гусаренко; Перм. гос. техн. ун-т. Пермь, 1993. 19 с.

9. Приближенные методы вычисления корней уравнения: Лаборат. работа / Сост. Т.А. Серова; Перм. политех. ин-т. Пермь, 1981. 12 с.


[1]Аппроксимация – построение приближенной (аппроксимирующей) функции, наиболее близко проходящей около данных точек или данной непрерывной функции.

[2] Spline (англ.) – гибкая линейка



©2015- 2017 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.